高师理科学刊
Journal of Science of Teachers' College and University
第41卷第1期2021年 1月
Vol. 41 No.1Jan. 2021
文章编号：1007-9831 (2020) 01-0052-04
刘倩，滕吉红，王习文
（信息工程大学基础部，河南郑州450001 ）
摘要：在卫星导航系统定位问题的研究中，需要将目标的定位结果在某置信水平下进行精度分析, 这就涉及到m 维球体上的实m 维向量的积分.为解决这类问题，从R 3中球坐标系入手，推广到R m 中的高维球坐标系，并从坐标变换的角度推导出了求此类积分的通用公式.
关键词：球坐标系；向量积分；坐标变换；高维
中图分类号：O172 : G642.0
文献标识码：A doi ： 10.3969/j.issn.1007-9831.2021.01.013
A generalized application of spherical coordinate in navigation and positioning王健林的妻子
LIU Qian, TENG Jihong, WANG Xiwen
(Department of Basic Course, Information Engineering University, Zhengzhou 450001, China )
Abstract : When the problem of location in satellite navigation system is studied , it is needed to do precision analysis
about the location result within a given confidence level , which is related to the m -dimension real vector calculus on
m -sphere. To resolve this problem , the spherical coordinate in R 3 is introduced and generalized to the spherical
coordinate in R m . Furthermore , a general formula about this kind of integral is deduced from the point of view of coordinate transformation.
Key words : spherical coordinate ; vector calculus ; coordinate transformation ; high dimension
1引言及预备知识
全球导航卫星系统（GNSS ）已成为世界各国重大空间和信息化基础设施，各国都在积极地建设和发展
属于本国的卫星导航系统[1-3].目前，卫星系统普遍基于“四星定位”的原则进行定位，即至少通过4颗当 前可见卫星与本地接收机的距离公式来求得本地接收机的位置坐标.定位功能的实现需要明确当前各颗可
见卫星的空间坐标及当前各颗可见卫星到本地接收机的距离.对于当前各颗可见卫星的空间坐标问题，解
决方法是对接收到的卫星信号进行解调获得星历参数，根据星历参数计算得到每颗卫星的空间坐标；对于
当前各颗可见卫星到本地接收机的距离问题，解决方法是利用卫星信号在空间中的传播时间差乘以光速得
到卫星与本地接收机的距离.GPS 标准定位服务（SPS ）在95%概率内的单点定位精度包括水平定位误差、
/ 、 n —m - 2
垂直定位误差和授时误差[4].在定位精度问题的研究中，需要从方程r| -
I f
”显k 2
（1 - I z l 2 ） =
（1 — a ）中求解k （迷向置信比）与观测数据量n 、最小二乘估计参数量m 和置信水平a 之间
收稿日期：2020-06-20
基金项目：信息工程大学2020年教育教学研究自筹项目（JXYJ2020D013）
作者简介：刘倩（ 1984-），女，河北任丘人，讲师，硕士，从事微分几何研究.E-mail ： **********************
第1期
刘倩，等：球坐标系在导航定位中的推广应用
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的关系问题，其中：G 为欧拉伽马函数；R m 为m 维实向量空间.这只需要求解向量积分
n -m -2
［m |2 k 2 (1 -\z\2)
2 d
z ，就会得到k 与n , m , a 之间的关系，从而完成精度分析.
◎ -I z 壬R 1 1 >
三维空间中的点不仅与空间直角坐标系中的有序数对(x y, z )一一对应，还可以引入其它方法来表示 空间中的点.对空间中任意一点M ，设其与原点0的距离为r ，向径OM 与z 轴正向夹角为0，M '为点M
向xOy 坐标面的投影，6为从z 轴正向看去0M'绕逆时针旋转与x 轴正向的夹角，因此M 与有序数对
(r, 0, 6) 一一对应，(r, 0, 6)称为M 的球坐标［5-6］.很容易得出直角坐标(x , y , z )与球坐标(r, 0, 6)之
x = r sin (0) cos (6)
间的关系为 < y = r sin (0)sin (6)(0 £ r < +¥,0 £ 0 £ n,z = r cos (0)
0 £6£ 2n ).空间直角坐标系中的体积元素
dV = d x d y d z 在球坐标系下变为 dV = r 2sin 0d r d 0d 6.
2 R m 中的球坐标系及坐标变换公式
n -m -2
观察到在高维球坐标系下求解向量积分［显”才旦(
1-|z 『)=d z 可能会更容易和简便，为此从坐标变 换的角度出发来求解这样一类向量积分. +
定理1［7-10］设变换x («) = (
x i (u ), X 2 (u ),…，x ” (u ))是可求体积的有界闭区域D u R n 到可求体积的
有界闭区域O u R n 的同胚映射，它的各个偏导数在包含D 的区域上连续，并且在D 上雅各比行列式
儿 心 …，x ")
、土 0，再设函数f (x )在。上可积，则有
6(
U 1, u 2,…，u n
)
JJ …J
a f
(x 1, x 2,
x n )d x 1d x 2 …此=JJ …J
D f (x 1 (U 1,…，U n ),…，x n (U 1,…，U n ))
。(五，…，x ”)
0(U 1, •••,"”)
d U ]…d U ”
在定理1的保证下，只需再得到坐标变换下的雅各比行列式［8］，就可完成坐标变换下的向量积分计算.定理2设z =(兀x 2,…，x m )6R m ，其在高维球坐标系下的坐标为(r , 61, 62,…，6m -1)，贝惰
d Z = d x 1d x 2 …％ = |J m | d r d 61d 62 …d 6m -1
( 1 )
其中
J m | = IF , 6,…,6[ = r m -1sin m -2(6m -1)sin m -3他』)…sin 1 他)sin 0(6j
(2)
0(r , 61,…，6m -1)
证明利用数学归纳法.
当m = 2时，有西=r cos (61), x = r sin (61)，令 D ?=dx ' d r 561骨干教师工作总结
cos (61) sin (61)-r sin^)] |= d (x 1, x 2)r cos (61) J ，2I 5(r , 61)
、d r d 61
det D 2 = r sin 0 6)，满足式(2).
设当m = k 时，有J k | =
D k =
d (x 1, x 2,...，x k )d (r , 6k -1, (61)
=det D k = r k -1 sin k -2(6k -1)sin k -3(6k -2)…sin (62)成立，
其中:
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第 41 卷
当m = k +1时，由于空间直角坐标(西，X 2，…，X k +1)与球坐标(r, q , …，Q )之间有关系：西=
r sin (q )sin (q _J …sin (
伏)cos (q ) , x = r sin (0k )sin (q _J …sin (伏)sin (q ) , X 3
= r sin (q )sin (q j …sin (q )cos (g ),
x 4 = r sin (q k )sin (q k -1 )L sin (g 4)cos (%)，…，X = r sin 他)cos ©-1) , x k +1 = r cos (q k )，则 |J k +1| =
6(x 1，x 2，…,X k +1)
Q (r , q k ,…,q 1)
=det D k +i
d x ]d x 1
d x 】d r dq
专利宣告无效d q O x d x 2d x 2d r
dq k d q d x
k +1
d x k +1d x k +1d r
d q k
…
d q 1
-将此行列式按最后一行展开，得| J k j =
(-1)k +2(-r si n (q k ))sin k (q k )det D k +(-1)k +1 cos (q k )r cos (q k )sin k -1 (q k )det D k =(-1)k +1 r sin k -1 (q k )det D k ，因此有 \J k +1| = |(-1)k +1 r sin k -1 (q k )det D 』=r sin k -1 (直)|det D 』=r sin k -1 (q Jsin k -2 (Q-Jsin k -3 (也)…sin ()-综上可知，式(2)成立.
证毕.
令z =(西，兀
2，…，x m )，在m 维球坐标变换下，由定理2可知
n -m -2
I k 2
n -m -2
_(1-|才)2 d z = f
；d 0m -1
；d 0m -2…f ：d q f 杆(1-r
2)h r m -1srn m -2
血Js 『3血2)…沁(伏
)d =
「1+k 2 \
/
I k 2
n -m -2
f :
S 『
-2
(q m -1 ) d q m -1 f : S 『-3 (q m -2 ) %2 …f 3 (g 2 ) d g 2 f : d q f ^存(1 - r " ) 2 严
/
k 2~
n -m -2
接下来只需计算定积分
f o
sin k (a )d a 和 f 护2
(1 - r 2)r m -1
d r 即可.
令 a = t + 2 ，则 f 0sin k (a )d a = f J sin k (a )d a + f ：sin k
(a )d a = f
f z e R m 府£z m -1 f 0 g
m -2f J sin k (a )d a + f ："cos k (t )d t .由华莱士公式可知，["sin - (x )d x = f^cos sin k (a )d a + f
J sin k
'(2k )!!
一n = 2k +1 (2k +1)!!
12k -1)!! n ”
(2k )!! 2
n
-(x ) d x =由此可得到
f
：sin k
(a )d a 的积分结果.
k 2
n - m - 2
arcs:
令 r = sin (t )，则
f
(1+k 2
(1 - r 2)
2
r m -1d r =
f
o
n -m -2
(1 - sin 2
(t ))
2
sin m -1 (t )cos (t )d t =
f 0
l "1+”0sin m -1
(t )cos "-m -1 (t )d t .经过计算，有悶i 厶(1-|z 『)^d z =
(f
0"sin m -2
(6m _】)d g -1 +
sin m -3 (q m -2 ) d q m -2 + f j gs "-3 D d g m -2 )^(f ^sill 2 (O 3 ) d q +f
J gS 2 (O 3 ) d q ) X 2 X 2兀 X r cos n —m —1 (t ) dt .
根据m 的不同给定取值，即可得岀相应的k 与n 和a 之间的确切关系.
3结语
将三维空间中的直角坐标系与球坐标系之间的转化关系推广到了高维空间中的直角坐标系与球坐标系
之间的转化关系，结合测绘专业学生将来要学习的专业内容并将其应用在解决实际专业问题中.不仅激发
了学生的积极主动性，强化了重积分内容的学习效果，而且能够提前引导学生了解专业知识，激发其科研
兴趣，
靠边停车培养其运用所学知识解决实际问题的能力.
第1期刘倩，等：球坐标系在导航定位中的推广应用55
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