【专题名称】中学数学教与学
【专题号】G352
【复印期号】2011年12期
【原文出处】《中学数学教学》(合肥)2011年4期第8～10页
【作者简介】孙文婷，安徽省铜陵市第九中学（244011）.
钱学森之问：“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？”引起了教育界的热烈讨论！在探寻钱老的成长轨迹时，人们发现了这样一个事实：据钱老回忆，在北师大附中初三年级听傅种孙老师的几何课，使他第一次明白什么是严谨的科学.傅老师说：“你只要承认公理，那么定理是逻辑推断的必然结果.”他一再强调，“这样的理论在中国是如此，在全世界也是如此，拿到火星上去它也是如此”.让钱老第一次明白“什么是严谨的科学”，启蒙是平面几何的学习！而这种良好的思维训练，使钱老受益终身，并成为他从事科学研究的支点.然而新课标实施以来，平面几何教学中逻辑推理弱化导致学生思维水平下降已经显现！实践表明，新课标下的平面几何教学必须进行反思.
一、新课标关于平面几何教学的改变
张艺谋超生
我国平面几何教学，在20世纪80年代达到巅峰.1992年后，平面几何的教学要求虽然降低，但平面几何论证体系没有大的改变“可以说，直到2000年，中国仍是平面几何教学水平最高的国家之一”.（张奠宙先生语，见文[1]）2001年7月，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》率先推出，并立即在实验区使用，2004年包括安徽省在内的全国大部分地区开始使用.新课标人教版教材对平面几何内容有了重大的改变，几乎是“革命式”的.用“空间与图形”替代“平面几何”，主张学生合作探索，通过看一看、量一量、做一做等操作得到结论，然后基本上是说明式的“证明”.主张几何教学多联系实际，强调实际应用；关于平面几何的逻辑推理则被淡化，只是要求在学生充分探索，得出图形的直观结论后，“体会推理与论证的必要性”.新课标颁布之后，初中数学教材出现了“一标多本”，其中人教版与北师大版使用较多.各种版本的教材均体现新课标中这一思想.顺应新课标和教材中这种变化，教师在教学中运用加大“做、量、看”的方法，而淡化了形式化推理训练.难度降低了，思维也弱化了.
二、对新课标平面几何教学改革的疑问
“看一看、量一量、做一做”属于“实验几何”范畴，证明则属于“论证几何”范畴.早在1939年版的《平面几何》序言中（余介石、徐子豪等编著）就有“几何图形特性，本为直观教材，而证理则为逻辑方法，初学不宜同时顾及两方面.本书分实验几何与理解几何”.不知新课标制定时，是否注意到“初学不宜同时顾
及两方面”？新课标的理念“建构主义”与“螺旋式的上升”，近年已在应用最久的美国遭受质疑与批评！“螺旋式的上升”对平面几何的教学而言，很容易造成“夹生饭”局面.实际上，初二以后的平面几何的教学更要一鼓作气，这样更有利于激发学生的兴趣，更有利于学生逻辑思维能力的训练，更有利于知识体系的形成.新课标前的几何教学中，常常见到一些学生非常有兴趣地热烈讨论一道题的证法.而新课标实施后这种场面极为鲜见.这恐怕不完全是教学单方面造成的.
对新课标过多强调联系实际和具体应用，著名数学家杨乐院士曾指出：“在编写中学教材时，我认为完整的体系应重于具体的应用”[2].如果一定要突出实验几何及几何应用，那么20世纪80年代上海数学教材改革是一个不错的选择.他们将“实验几何”放在初二，论证几何则放到初三.这样的教改既符合学生的年龄特点与认知水平，又不失教育以及数学学科本身要求.可惜的是没能保持下来，更没能推广.陈省身先生在世时，曾有人就新课标的构想向他请教.当被告知新课标中，几何推理证明要削弱甚至是取消时，陈老说，几何推理的部分不能取消，因为整个数学就是建立在推理上的.但是，陈老的意见并没有完全得到尊重.
三、新课标下平面几何教学实践的困惑
课改之初，对平面几何的教学改革，教师们是抱有热情的.大家积极参与其中，希望通过删减过去过繁、过难的几何内容，使学生对平面几何的学习更有兴趣，学习效果更好；希望通过学生的探究，激
发学生的学习主动性.这个时期，无论你听哪个教师的公开课，课堂上必然是热闹的，一个班级五六十人，被分成若干小组，几张课桌合在一起，桌上肯定有硬纸板，剪刀，胶水之类的东西.老师一声令下，学生们七手八脚，热热闹闹地探究起来，一段时间后，便是各组展示汇报，教师总结.一时间，这种教学方式成为课堂教学的一种“时尚”，但凡公开课，没有小组合作，没有多媒体，那不足以体现新课改理念！也不管内容合不合适，只要课本上要求探究就探究.一教师在八年级进行“平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似”，用的是北师大版教材.由于没有学习平行线分线段成比例定理（人教版也是先删后加的），学生只好用测量的办法，我们知道，测量是有误差的，结果可想而知，对应角、对应边完全准确的对应相等、成比例是很难得到的，对于学生的怀疑，该教师只好补充平行线分线段成比例定理，但又怕被人说“穿新鞋走老路”.这种教学中想删而又不得不补充的现象在实际课堂教学中并不只是个别现象.[3]
应该说新课标下的新教材，确实能让学生感兴趣，材料丰富，插图美观，多数地方的学习，只要求学生在直观感知下说出结论或结果即可，不问为什么，自然难度降低，学生对于当前内容的学习，一般是轻松的，可课后作业及考试中，还是有一些推理论证问题的，这些问题的内容及难度属于新课标范围内，但教师得到的反馈太差.另外不少几何内容前后间隔时间长，学生学到后面，前面的忘了，教师只好再复习.于是有些地方、有些学校觉得北师大版的是不是比人教版的好，换了之后还是有问题.其实，不管哪个版本，都是在新课标理念下编写的，“淡化逻辑推理，强调实际应用”是问题的根源.请看
下面几个教学案例：（1）（2009年安徽省中考第10小题）△ABC 中，AB=AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）
大电影A.120°
B.125°
C.135°
D.150°
考生此题的解答情况，合肥望龙学校疏忠良老师做了一个调查，共1000份调查问卷，结果如下：（见文[4]）真正会做的只有13.6%，在选择题中，得分率最低.此题真的很难吗？按说学生平时探究较多，画一个等边三角形，或者按题意画图后测量，都能得出答案（C），没有课改之前的学生也会这样探究，课改之后，探究要多得多，为何没能出成果？根本问题是探究也需要逻辑思维能力.
简析易得到∠AIB=∠AIC，∠AIC=180°-（∠1+∠2）.
注意到CD⊥AB，AI、CI为角平分线，所以有∠1+∠2=（∠DAC+∠DCA）∠2=45°，故∠AIB=∠AIC=135°.
建立在逻辑推理的基础上做一做、量一量将会使我们对问题的认识更准确、更快捷、更深刻.
（2）（2010年安徽省中考第8题）如图，⊙O过点B、C.圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（）
简析主要根据轴对称性考查圆的垂径定理和等腰直角三角形的性质.反向延长线段OA交BC于点D，可知AD⊥BC，由等
腰直角△ABC，∠BAC=90°，BC=6，可知AD=CD=3，AC=3，再连OC，在Rt△ODC中，利用勾股定理便可求得正确答案
OC=许多同学由于平时片面的直观训练误把AC看做⊙O的半径而错选C，还有一些同学由于缺乏最基本的逻辑训练而无法判断AD⊥BC，从而无从下手.据太湖县教育局教研室余学明等老师统计，该县考生在10个选择题中，本题得分率最低.
（3）一节高一数学课上，在学习用向量法解决三角形重心问题时，有下面一段对话：张亮模特
师：什么是重心？
生1：角平分线交点.（连“三个内”都丢了）
生2：中垂线交点.（连“三条边”也丢了）
在教师的讲解下，学生知道了，初中老师也讲过，忘了！教师接着教学，不能简单讲解，只好再启发：
师：谁知道重心的几何性质？
学生窃窃私语，无人应答.教师只好再启发：
师：BG∠GE=？
生：2.
师：很好！怎么证的？
生：三角形相似.
邢台服装批发师：哪两个三角形相似，为什么？
生3：△DEG∽△BCG（注：对应点有误）.∠DGE=∠BGC，还有……
银行客户经理总结
看他说不出了，师：D、E分别是AB、AC的中点，那么DE是？
生：中位线！DE//BC且等于BC的二分之一……
至此，约5分钟过去了，教师才能进行下面的教学.初中数学关于三角形重心放在哪里呢？放在了初二的“课题学习”里，教材先要求学生探求线段的重心，再就是平行四边形的（含矩形、菱形、正方形），接下来是三角形，用“悬挂法”得到重心后，旁注给出两个“不必回答的问题”，因为第一个问题下边用蓝字体给出：“三角形三条中线相交于一点，这一点就是三
角形的重心”；另一个是“等腰、等边三角形的重心位置有什么特殊性”，似乎只要知道特殊就够了，而且是几乎不用思考的特性，可有可无的问题！更重要的特性却无涉及，也不能涉及，原来三角形相似的内容被挪到了后面.更要命的是课题学习的内容，基本上属于学生自学内容，中考基本不考，就算有“感兴趣”的同学自学，也只能知道“悬挂法”“物理重心”非“几何重心”，因为真正质地均匀的三角形只存在于数学中.初中数学不要求掌握，可高中教材习题里对三角形重心、垂心、内心、外心及其基本性质均有一定的要求，并在近几年高考题中有所体现.
再看高一学生的数学作业，前言不搭后语的逻辑混乱较之于新课标前普遍多了，凡是需要的解题条件，不加严格的推理论证，而通过“看出来的”不在少数.原来在三角形全等证明中的严格书写，这个训练学生思维严谨，书写规范，表达清楚的好机会，在现行的教材里被削弱了，因为它“呆板，不够创新”.近年来，针对教材内容的编排问题，数学杂志上的商榷、建议、批评文章屡见不鲜.人教版八年级下册第89页一道例题的证明，被一教师指出有三处显而易见的书写错误.
四、初中平面几何教学的建议
各种花开放的时间（1）初中平面几何的学习，确实要避免过繁过难的问题，我们需要精中求简，但要保证平面几何的逻辑体系不致削弱.实际上，教师的教学难度基本上看齐于中考、高考，只要运用好“两考指挥棒”，平面几何的教学既不会过难，也不会破坏其完整的体系.如今，由于新课标淡化平面几何的推理论证及逻辑体系，使得各版本的教材中，平面几何有些支离，不利于平面几何教学的高效实施.
（2）平面几何教学不能片面强调应用.数学是一门严格渐进的课程，中学平面几何可以训练学生的空间想象、逻辑推理能力，对形象思维的发展也有非常重要的作用.数学教育的目的首先在于提高素质水平和能力，而不是所学知识简单应用.完整的数学体系蕴含丰富的数学思想，它甚至比应用更重要.杨乐院士为现在中学平面几何的教学缺失感到忧虑：“平面几何培养人的直观想象力，分析与证明能力，很难用其他课程替代.”[2]
（3）重视初高中几何的衔接.初中平面几何中有些删去的内容，在高中甚至作为重点内容，如上述案例3中“四心”问题.高中数学中向量和平面几何的结合，推理与证明选修课的开设均说明平面几何中有些内容不能随意删去，应结合高中数学的实际将其列入初中数学内容.
【参考文献】
[1]张奠宙.平面几何教学的回顾与前瞻[J].数学教学，2005，(5).
[2]杨乐.谈谈数学的应用与中学数学教育[J].课程·教材·教法，2010，(3).
[3]彭正香.对一个难以探究的问题的教学[J].中小学数学(初中版)，2010，(12).
[4]疏忠良.方法比知识更重要——一道2009年中考数学选择题的反思[J].中小学数学(初中
版)，2010，(10).^NU1DA20120308