2022年中考数学压轴题
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
解：（1）由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax﹣12a，
即：﹣12a＝4，解得：a中考时间2022年具体时间，
则抛物线的表达式为yx2x+4；
（2）存在，理由：
点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），
则AC5，AB＝4﹣（﹣3）＝7，BC＝4，∠OBC＝∠OCB＝45°，
设BC的解析式为y＝kx+b，将点B、C的坐标代入解得：
，解得，
∴y＝﹣x+4…①，
设直线AC的解析式为y＝k′x+b′，则有，
解得
∴直线AC的表达式为：yx+4，
设线段AC的中点为K（，2），过点M与CA垂直，直线的表达式中的k值为，
同理可得过点K与直线AC垂直，直线的表达式为：yx②，
①当AC＝AQ时，如图1，
则AC＝AQ＝5，
设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，解得：n＝3或4，
∵点Q在点B的左侧，
∴n＝3
故点Q（1，3）；
②当AC＝CQ时，如图1，
CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝45，
则QM＝MB，
故点Q（，）；
③当CQ＝AQ时，
联立①②并解得：x（舍去）；
故点Q的坐标为：Q（1，3）或（，）；
（3）设点P（m，m2m+4），则点Q（m，﹣m+4），
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，
∴PN＝PQsin∠PQN（m2m+4+m﹣4）（m﹣2）2，
∵0，∴PN有最大值，
当m＝2时，PN的最大值为：．
2．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD，PE，DE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置时发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；
（3）请直接写出△PDE周长的最大值和最小值．
解：（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，
∴C（0，8），A（﹣8，0），
设抛物线解析式为：y＝ax2+c，
则 ，
解得：．
∴抛物线解析式为yx2+8．
（2）设P（x，x2+8），则F（x，8），
则PF＝8﹣（x2+8）x2．
PD2＝x2+[6﹣（x2+8）]2x4x2+4＝（x2+2）2
∴PDx2+2，
∴d＝|PD﹣PF|＝|x2+2x2|＝2
∴d＝|PD﹣PF|为定值2；
（3）如图，过点E作EF⊥x轴，交抛物线于点P，
由d＝|PD﹣PF|为定值2，
得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），
又∵D（0，6），E（﹣4，0）
∴DE2．
∴C△PDE＝22+（PE+PF），
当PE和PF在同一直线时PE+PF最小，
得C△PDE最小值＝22+8＝2 10．
设P为抛物线AC上异于点A的任意一点，过P作PM∥x轴，交AB于点M，连接ME，如图2．
由于E是AO的中点，易证得ME≥PE（当点P接近点A时，在△PME中，显然∠MPE是钝角，故ME≥PE，与A重合时，等号成立），而ME≤AE+AM，
所以PE≤AE+AM．
所以当P与A重合时，PE+PF最大，
AE＝8﹣4＝4，PD10．
得C△PDE最大值＝24+10＝214．
综上所述，△PDE周长的最大值是214，最小值是2 10．
3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，
故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，
将点A、D的坐标代入抛物线表达式，
同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，
即：则PE＝PF，
设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），
PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，
∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，