1985年全国统一高考数学试卷（文科）
　
一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（  ）
　
A．
B．
C．
D．
　
黎瑞恩老公2．（3分）的（  ）
　
A．
必要条件
B．
充分条件
　
C．
充分必要条件
D．
既不充分又不必要的条件
　
3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（  ）
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A．
{0，1，2，6，8}
B．
{3，7，8}
C．
{1，3，7，8}
D．
{1，3，6，7，8}
　
4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（  ）
　
A．
y=x2（x∈R）
B．
y=|sinx|（x∈R）
C．
y=cos2x（x∈R）
D．
y=esin2x（x∈R）
　
5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（  ）
　
A．
96个
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B．
78个
C．
72个
D．
64个
　
二、解答题（共11小题，满分90分）
6．（4分）求函数．
　
7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．
　
8．（4分）求函数y=﹣x2+4x﹣2在区间[0，3]上的最大值和最小值．
　
9．（4分）设（3x﹣1）6=a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，求a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0的值．
　
10．（4分）设i是虚数单位，求（1+i）6的值．
　
11．（14分）设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…，
Sn=12+22+32+…+n2+…+32+22+12，…
用数学归纳法证明：公式对所有的正整数n都成立．
　
12．（13分）证明三角恒等式．
　
13．（16分）（1）解方程lg（3﹣x）﹣lg（3+x）=lg（1﹣x）﹣lg（2x+1）；
（2）解不等式
　
14．（15分）设三棱锥V﹣ABC的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h，求这个所棱锥底面的内切圆半径．
　
15．（15分）已知一个圆C：x2+y2+4x﹣12y+39=0和一条直线L：3x﹣4y+5=0，求圆C关于直线L的对称的圆的方程．
　
16．（12分）设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项之和为Sn，又设Tn=，n=1，2，…．求．
　
1985年全国统一高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共5小题，每小题3分，满分15分）
1．（3分）如果正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′﹣ABD的体积是（  ）
　
A．
B．
C．
D．
考点：
棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：
计算题．
分析：
画出图形，直接求解即可．
解答：
解：如图四面体A′﹣ABD的体积是
V=
故选D．
点评：
本题考查棱锥的体积，是基础题．
　
2．（3分）的（  ）
　
A．
必要条件
B．
充分条件
　
C．
充分必要条件
D．
既不充分又不必要的条件
考点：
必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：
计算题．
分析：
先解出tanx=1的解，再判断两命题的关系．
解答：
解：
由tanx=1
得，
当k=1时，x=，
固由前者可以推出后者，
所以tanx=1是的必要条件．
故选A．
点评：
此题要注意必要条件，充分条件的判断，掌握正切函数的基本性质，比较简单．
　
3．（3分）设集合X={0，1，2，4，5，7}，Y={1，3，6，8，9}，Z={3，7，8}，那么集合（X∩Y）∪Z是（  ）
四时田园杂兴其三十一意思翻译
　
A．
{0，1，2，6，8}
B．
{3，7，8}
C．
{1，3，7，8}
D．
{1，3，6，7，8}
考点：
交、并、补集的混合运算．
分析：
根据交集的含义取X、Y的公共元素写出X∩Y，再根据并集的含义求（X∩Y）∪Z．
解答：
解：X∩Y={1}，（X∩Y）∪Z={1，3，7，8}，
故选C
点评：
本题考查集合的基本运算，较简单．
　
4．（3分）在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间上的增函数又是以π为周期的偶函数？（  ）
最长的运河
　
A．
y=x2（x∈R）
B．
y=|sinx|（x∈R）
C．
y=cos2x（x∈R）
D．
y=esin2x（x∈R）
考点：
三角函数的周期性及其求法．
专题：
压轴题．
分析：
根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项逐一验证即可．
解答：
解：y=x2（x∈R）不是周期函数，故排除A．
∵y=|sinx|（x∈R）周期为π，且根据正弦图象知在区间上是增函数．
故选B．
点评：
本题主要考查三角函数的最小正周期和三角函数的图象．
　
5．（3分）用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有（  ）
　
A．
96个
B．
78个
C．
72个
D．
64个
考点：
排列、组合的实际应用．
专题：
计算题；压轴题；分类讨论．
分析：
根据题意，分析首位数字，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，由于百位数不是数字3，分2种情况讨论，①百位是3，②百位是2，4，5，分别求得其情况数目，由乘法原理，计算可得答案．
解答：
解：根据题意，要求这个五位数比20000大，则首位必须是2，3，4，5这4个数字，
分2种情况讨论，
当首位是3时，百位数不是数字3，有A44=24种情况，
当首位是2，4，5时，由于百位数不能是数字3，有3（A44﹣A33）=54种情况，
综合可得，共有54+24=78个数字符合要求，
故选B．
点评：
本题考查排列、组合的应用，注意结合题意，进行分类讨论，特别是“百位数不是数字3”的要求．
　
二、解答题（共11小题，满分90分）
6．（4分）求函数．
考点：
函数的定义域及其求法．
分析：
只需使得解析式有意义，分母不为0，且被开方数大于等于0即可．
解答：
解：解得：{x|﹣2≤x＜1}∪{x|1＜x≤2}．
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点评：
本题考查具体函数的定义域，属基本题．
　
7．（4分）求圆锥曲线3x2﹣y2+6x+2y﹣1=0的离心率．
考点：
圆锥曲线的共同特征．
专题：
计算题．
分析：
先把方程整理成标准方程，进而可知a和b，求得c，则离心率可得．
解答：
解：方程整理成标准方程得（x+1）2﹣=1，
即a=1，b=
∴c==2
∴e==2
点评：
本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．