1994年全国卷高考文科数学真题及答案
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共65分)
一、选择题(本大题共15小题；第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
(1) 设全集I ={0，1，2，3，4}，集合A ={0，1，2，3}，集合B ={2，3，4}，则B A ⋃= ( )
(A) {0}
(B) {0，1}
(C) {0，1，4}
(D) {0，1，2，3，4}
(2) 如果方程x 2
+ky 2
=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 ( ) (A) (0，+∞)
(B) (0，2)
(C) (1，+∞)
(D) (0，1)
(3) 点(0，5)到直线y =2x 的距离是 ( )
(A)
2
5
(B) 5
(C)
2
3 (D)
2
5 (4) 设θ是第二象限的角，则必有 ( )
(A) 2
2
θ
θ
ctg
tg
> (B) 2
2
θ
θ
ctg
tgsuper junior m资料
< (C) 2
cos
2
sin
θ
θ
>
(D) 2
cos
2
sin
θ
地暖管θ
<
(5) 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成
( )
(A) 511个
(B) 512个
(C) 1023个
(D) 1024个
(6) 在下列函数中，以
2
π
为周期的函数是 ( )
(A) y =sin2x +cos4x (B) y =sin2x cos4x (C) y =sin2x +cos2x (D) y =sin2x cos2x (7) 已知正六棱台的上，下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为 ( )
(A) 323
(B) 283
(C) 243
(D) 203
(8) 设F 1和F 2为双曲线14
22
=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2=90º，则△F 1PF 2的面积是
( )
(A) 1
(B)
2
5 (C) 2
(D) 5
(9) 如果复数Z 满足|Z +i |+|Z －i |=2，那么|Z +i +1|最小值是 ( )
(A) 1
(B) 2
(C) 2
(D) 5
(10) 有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有
( )
(A) 1260种
(B) 2025种
(C) 2520种
(D) 5040种
(11) 对于直线m 、n 和平面α、β，α⊥β的一个充分条件是 ( )
(A) m ⊥n ，m ∥α，n ∥β (B) m ⊥n ，α∩β=m ，n ⊂α (C) m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α
(D) m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β
(12) 设函数f (x )=1－21x -(－1≤x ≤0)，则函数y = f －1
(x )的图像是
版花呗( )
(13) 已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且
AB =BC =CA =2，则球面面积是
( )
(A)
9
16π
(B)
3
8π (C) 4π (D)
9
64π
(14) 如果函数y =sin2x +a cos2x 的图像关于直线=－8
π
对称，那么a = ( )
(A) 2
(B) 2-
(C) 1
(D) －1
(15) 定义在(－∞，+∞)上的任意函数f (x )都可表示成一个奇函数g (x )和一个偶函数
h (x )之和.如果f (x )=lg(10x +1)，x ∈(－∞，+∞)，那么
( )
(A) g (x )=x ，h (x )=lg(10x溜的多音字组词
+10x
+2) (B) g (x )=
21[lg(10x +1)+x ] h (x )=2
1[lg(10x
+1)－x ]
(C) g (x )=
2x ，h (x )=lg(10x
+1)－2x (D) g (x )=－2x ，h (x )=lg(10x
+1)+2
x
第Ⅱ卷(非选择题共85分)
二、填空题(本大题共5小题，共6个空格：每空格4分，共24分.把答案填在题中横线上)
(16) 在(3－x )7的展开式中，x 5
的系数是______________(用数字作答)
(17) 抛物线y 2
=8－4x 的准线方程是___________，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是__________
(18) 已知sin θ+cos θ=
5
1
，θ∈(0，π)，则ctg θ的值是________________ (19) 设圆锥底面圆周上两点A 、B 间的距离为2，圆锥项点到直线AB 的距离为3，电脑麦克风没有声音
AB 和圆锥的轴的距离为1，则该圆锥的体积为____________
(20) 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，
a 2，…，a n ，共n 个数据.我们规定所测量的“量佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值
比较，a 与各数据的差的平方和最小.依此规定，从a 1，a 2，…，a n 推出的a =__________
三、解答题(本大题共5小题，共61分；解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)
(21) (本小题满分11分)
求函数x x
x
x x x y 2sin 2cos cos 3cos sin 3sin 233++=
的最小值. (22) (本小题满分12分)
以知函数f (x )=log a x (a >0且a ≠1，x ∈R +
)，若x 1，x 2∈R +
，判断
()()[]212
1
x f x f +与⎪⎭
⎫ ⎝⎛+221x x f 的大小，并加以证明. (23) (本小题满分12分)
如图，已知A 1B 1C 1－ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点. (1) 证明AB 1∥平面DBC 1；
(2) 假设AB 1⊥BC 1，BC =2，求线段AB 1在侧面B 1BCC 1上的射影
长.
(24) (本小题满分12分)
已知直角坐标平面上点Q (2，0)和圆C ：x 2
+y 2
=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ |的比等于常数λ(λ>0).求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.
(25)（本小题满分14分）
设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于所有的自然数n ，都有()
2
1n n a a n S +=，证明{a n }是等差数列.
参考答案
一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)
1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．D 7．B 8．A 9．A 10．C 11．C 12．B 13．D 14．D 15．C
二、填空题(本题考查基本知识和基本运算.每空格4分，共24分)
16．－189 17．x =3，(x －2)2
+y 2
=1 18．43-
19．3
22π 20．n
a a a n
+++ 21
三、解答题
21．本小题考查利用有关三角公式并借助辅助角求三角函数最小值的方法及运算能力，满分11分.
解：因为
sin3x sin 3
x +cos3x cos 3
x
=(sin3x sin x )sin 2
x +(cos3x cos x )cos 2
x =
2
1[(cos2x －cos4x )sin 2x +(cos2x +cos4x )cos 2
x ] ——4分
=21[(sin 2x +cos 2x )cos2x +(cos 2x －sin 2
x )cos4x ] =21
(cos2x +cos2x cos4x ) ——6分
=2
1
cos2x (1+cos4x ) =cos 3
2x ——8分
所以
x x
x y 2sin 2cos 2cos 23+=
=cos2x +sin2x =2sin(2x +4
π). 当sin(2x +
4
π
)=－1时，y 取最小值－2. ——11分
22．本小题考查对数函数性质、平均值不等式等知识及推理论证的能力.满分12分. 解：f (x 1)+(x 2)=log a x 1+ log a x 2=log a (x 1x 2) ∵ x 1，x 2∈R +
，
∴ x 1x 2≤2
212⎪⎭⎫
⎝⎛+x x (当且仅当x 1= x 2时取“=”号).
——2分
当a >1时，有log a (x 1x 2)≤log a 2
212⎪⎭
好车主信用卡⎫
⎝⎛+x x
——5分
∴
21log a (x 1x 2)≤log a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+221x x ， 21( log a x 1+ log a x 2)≤log a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+221x x ， 即
21[f (x 1)+f (x 2)] ≤f ⎪⎭
⎫
⎝⎛+22
1x x (当且仅当x 1= x 2时取“=”号) ——7分
当0<a <1时，有log a (x 1x 2)≥log a 2
212⎪⎭
⎫
⎝⎛+x x ，
——10分
∴21 (log a x 1+log a x 2)≥log a 2
212⎪⎭
⎫ ⎝⎛+x x ，
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