２０２０年全国高考数学一卷(理)２０题解法赏析
陈志年
(安徽省合肥市肥西中学㊀２３１２００)
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００３８－０２
收稿日期:２０２０－０８－０５
作者简介：陈志年(１９６２.４－)ꎬ男ꎬ安徽人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.
㊀㊀２０２０年全国高考数学一卷(理)２０题是一道解析几何题ꎬ其中第二问是证明直线过定点.虽然是一类常见常考的题型ꎬ但是解决起来有一定的难度.难点在于：引进一个参数ꎬ思路简单ꎬ可运算量大ꎬ要
求运算流畅㊁准确ꎻ引进多个参数ꎬ最后涉及到参数的消去与保留ꎬ要求思维灵活㊁缜密.下面给出该题的多种解法及评析ꎬ欣赏一题多解的妙趣ꎻ领略难点突破的秘诀.
题目㊀已知ＡꎬＢ分别为椭圆Ｅ:ｘ２
ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的
左右顶点ꎬＧ为Ｅ的上顶点ꎬＡＧң ＧＢң
＝８.Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬＰＡ与Ｅ的另一交点为ＣꎬＰＢ与Ｅ的另一交点
为Ｄ.
(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)证明：直线ＣＤ过定点.
解㊀(１)由题设得Ａ(－ａꎬ０)ꎬＢ(ａꎬ０)ꎬＧ(０ꎬ１)ꎬ则ＡＧң
＝(ａꎬ１)ꎬＧＢң＝(ａꎬ－１).由ＡＧң ＧＢң
＝８得ａ２－１＝８ꎬ即ａ＝３.所以Ｅ的方程为ｘ２
９
＋ｙ２＝１.
(２)解法１㊀由(１)知Ａ(－３ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)ꎬ设Ｐ(６ꎬｔ)
则ＰＡ的方程为ｙ＝ｔ９(ｘ＋３).将ｙ＝ｔ９(ｘ＋３)代入ｘ２
９
＋
ｙ２
＝１得(ｔ２
＋９)ｘ２
＋６ｔ２
ｘ＋９ｔ２
－８１＝０ꎬ则－３ｘｃ＝９ｔ２－８１
ｔ２＋９ꎬ
所以ｘｃ＝－３ｔ２＋２７ｔ２＋９ꎬＣ点的坐标为(－３ｔ２＋２７ｔ２＋９ꎬ６ｔ
ｔ２＋９)ꎻ同
样求得Ｄ点坐标为(３ｔ２－３ｔ２＋１ꎬ－２ｔ
ｔ２＋１).当ｔ２ʂ３时ꎬ直线
ＣＤ的斜率ｋＣＤ＝
４ｔ－３ｔ２
＋９ꎬ直线ＣＤ的方程为ｙ＋２ｔｔ２＋１
＝４ｔ－３ｔ２＋９(ｘ－３ｔ２－３ｔ２＋１)ꎬ即ｙ＝４ｔ－３ｔ２
＋９(ｘ－３
２)ꎻ当ｔ２＝３时ꎬ直线ＣＤ的方程为ｘ＝３２.综上ꎬ直线ＣＤ过定点(３
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２
ꎬ０).
评析㊀本解法两次将直线方程代入椭圆方程得到关
于ｘ的一元二次方程ꎬ有一定的运算量ꎬ要求零失误ꎻ利用韦达定理求得Ｃ㊁Ｄ的坐标ꎬ是一个技巧ꎻ写出直线ＣＤ的方程还需要化简整理ꎬ方能得到所要证的结论.
解法２㊀由(１)知Ａ(－３ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)ꎬ设Ｐ(６ꎬｔ)ꎬＣ(３ｃｏｓαꎬｓｉｎα)ꎬＤ(３ｃｏｓβꎬｓｉｎβ)ꎬ则ＡＣң
＝(３ｃｏｓα＋３ꎬｓｉｎα)ꎬＡＰң
＝(９ꎬｔ)ꎬＢＤң
＝(３ｃｏｓβ－３ꎬｓｉｎβ)ꎬＢＰң
＝(３ꎬｔ).因为ＡＣң
ʊＡＰңꎬＢＤңʊＢＰң
ꎬ所以(３ｃｏｓα＋３)ｔ－９ｓｉｎα＝０ꎬ(３ｃｏｓβ－３)ｔ－３ｓｉｎβ＝０.
当ｔʂ０时ꎬ则ｔ＝３ｔａｎ
α２ꎬｔ ｔａｎβ２＝－１ꎬ从而ｔａｎα
２
ｔａｎ
β２＝－１
３
.若ｃｏｓαʂｃｏｓβꎬ直线ＣＤ的方程为ｙ－ｓｉｎα＝ｓｉｎα－ｓｉｎβ３ｃｏｓα－３ｃｏｓβ(ｘ－３ｃｏｓα)ꎬ即ｙ＝ｓｉｎα－ｓｉｎβ
３ｃｏｓα－３ｃｏｓβ
(ｘ－
３ｓｉｎ(α－β)ｓｉｎα－ｓｉｎβ)ꎬ即ｙ＝ｓｉｎα－ｓｉｎβ３ｃｏｓα－３ｃｏｓβ(ｘ－３ｃｏｓ
α－β
２
宇文护有多爱独孤般若ｃｏｓ
α＋β
２)ꎬ即ｙ＝
ｓｉｎα－ｓｉｎβ３ｃｏｓα－３ｃｏｓβ(ｘ－３(１＋ｔａｎ
α２ｔａｎβ２)
１－ｔａｎα２ｔａｎ
β２
).将ｔａｎα２ ｔａｎβ
２
＝
８３
机械表误差标准－１３代入得直线ＣＤ的方程ｙ＝ｓｉｎα－ｓｉｎβ３ｃｏｓα－３ｃｏｓβ(ｘ－３２
).若ｃｏｓα＝ｃｏｓβꎬ由ｔａｎα２ ｔａｎβ２＝－１３
ꎬ不妨设ｔａｎ
α２＝３３ꎬｔａｎβ２＝－３３ꎬ所以ｃｏｓα＝ｃｏｓβ＝１
２
ꎬ直线ＣＤ的方程为ｘ＝
３
２
.
当ｔ＝０时ꎬ直线ＣＤ的方程为ｙ＝０.综上ꎬ直线ＣＤ过定点(
３
２
ꎬ０).评析㊀本解法利用椭圆的参数方程设点的坐标ꎬ减少了参数的个数ꎻ整个解答过程中ꎬ利用了多个三角公式ꎬ如：同角三角函数基本关系公式ꎬ两角和与差公式ꎬ二倍角公式及通过角的变换推导的 和差化积 公式等ꎬ可以说三角公式的运用得到了极致.
解法３㊀由(１)知Ａ(－３ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０).设Ｐ(６ꎬｔ)ꎬ根据对称性直线ＣＤ所过定点在ｘ轴上.
当ｔʂ０时ꎬ设直线ＣＤ的方程为ｍｙ＝ｘ－ｎꎬＣ(ｍｙ１＋
ｎꎬｙ１)ꎬＤ(ｍｙ２＋ｎꎬｙ２)ꎬ则ＡＣң
＝(ｍｙ１＋ｎ＋３ꎬｙ１)ꎬＡＰң
＝(９ꎬｔ)ꎬＢＤң
＝(ｍｙ２＋ｎ－３ꎬｙ２)ꎬＢＰң＝(３ꎬｔ).因为ＡＣң
ʊＡＰңꎬＢＤң
ʊＢＰң
ꎬ所以(ｍｙ１＋ｎ＋３)ｔ－９ｙ１＝０ꎬ(ｍｙ２＋ｎ－３)ｔ－３ｙ２＝
０.消去ｔ得ｙ２(ｍｙ１＋ｎ＋３)＝３ｙ１(ｍｙ２＋ｎ－３).即２ｍｙ１ｙ２＋３(ｎ－３)ｙ１－(ｎ＋３)ｙ２＝０.
把ｘ＝ｍｙ＋ｎ代入ｘ２
９＋ｙ２＝１得(ｍ２＋９)ｙ２＋２ｍｎｙ＋
ｎ２
－９＝０.把ｙ１ｙ２＝ｎ２－９
ｍ２＋９
代入２ｍｙ１ｙ２＋３(ｎ－３)ｙ１－(ｎ
黄山奇石都有哪些石头＋３)ｙ２＝０ꎬ得２ｍ(ｎ２－９)
ｍ２＋９
＋３(ｎ－３)ｙ１－(ｎ＋３)ｙ２＝０ꎬ把
２ｍｍ２＋９＝－ｙ１＋ｙ２ｎ代入２ｍ(ｎ２－９)ｍ２＋９
＋３(ｎ－３)ｙ１－(ｎ＋３)
ｙ２＝０
消去ｍ得－(ｎ２－９)(ｙ１＋ｙ２)＋３ｎ(ｎ－３)ｙ１－ｎ(ｎ＋３)ｙ２＝０ꎬ
即(２ｎ２－９ｎ＋９)ｙ１－(２ｎ２＋３ｎ－９)ｙ２＝０.所以２ｎ２－
９ｎ＋９＝０ꎬ２ｎ２
＋３ｎ－９＝０ꎬ从而ｎ＝３
２ꎬ直线ＣＤ的方程为
ｍｙ＝ｘ－
３２
.当ｔ＝０时ꎬ直线ＣＤ的方程为ｙ＝０.综上ꎬ直线ＣＤ过定点(
３
２
ꎬ０).评析㊀本解法引进多个参数ꎬ初心是利用韦达定理
消去ｙ１和ｙ２保留ｍꎬ实际把ｙ１ｙ２＝ｎ２－９
ｍ２＋９代入２ｍｙ１ｙ２＋３
(ｎ－３)ｙ１－(ｎ＋３)ｙ２＝０ꎬ结合ｙ１＋ｙ２＝－
２ｍｎ
ｍ２＋９
ꎬ发现易消去ｍꎬ保留ｙ１和ｙ２ꎬ利用ｙ１和ｙ２的任意性就可求得ｎ.解题过程中得到启发㊁灵感ꎬ适时调整我们的解题思路ꎬ
体现了思维的多向性和灵活性.
解法４㊀由(１)知Ａ(－３ꎬ０)ꎬＢ(３ꎬ０)ꎬ设Ｃ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＤ
(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＰ(６ꎬｔ)ꎬ则ＡＣң
＝(ｘ１＋３ꎬｙ１)ꎬＡＰң
＝(９ꎬｔ)ꎬＢＤң
＝
(ｘ２－３ꎬｙ２)ꎬＢＰң
＝(３ꎬｔ).因为ＡＣңʊＡＰңꎬＢＤң
ʊＢＰң
ꎬ所以(ｘ１
＋３)ｔ－９ｙ１＝０ꎬ(ｘ２－３)ｔ－３ｙ２＝０.消去ｔ得３ｙ１(ｘ２－３)
＝ｙ２(ｘ１＋３)ꎬ所以９ｙ２１(ｘ２－３)２＝ｙ２２(ｘ１＋３)２.又ｙ２
１＝
９－ｘ２１９ꎬｙ２
２＝９－ｘ２２９ꎬ从而得９(ｘ１－３)(ｘ２－３)＝(ｘ１＋３)(ｘ２＋３)ꎬ即４ｘ１ｘ２－１５(ｘ１＋ｘ２)＋３６＝０.2022年北京冬奥会地点
根据对称性直线ＣＤ所过定点在ｘ轴上.
当直线ＣＤ的斜率存在时ꎬ设直线ＣＤ的方程为ｙ＝ｋ
(ｘ－ｎ)ꎬ把ｙ＝ｋ(ｘ－ｎ)代入ｘ２
９＋ｙ２＝１得(９ｋ２＋１)ｘ２－
１８ｋ２
ｎｘ＋９ｋ２
ｎ２
－９＝０.把ｘ１＋ｘ２＝１８ｋ２ｎ９ｋ２＋１ꎬｘ１ｘ２＝
９ｋ２ｎ２－９９ｋ２＋１
代入４ｘ１ｘ２－１５(ｘ１＋ｘ２)＋３６＝０得ｋ２(２ｎ２－１５ｎ＋１８)＝
０ꎬ所以２ｎ２－１５ｎ＋１８＝０ꎬ解得ｎ＝３
２
或ｎ＝６(舍去)ꎬ直线ＣＤ的方程为ｙ＝ｋ(ｘ－
３２
).当直线ＣＤ的斜率不存在时ꎬ则ｘ１＝ｘ２ꎬ又４ｘ１ｘ２－１５
(ｘ１＋ｘ２)＋３６＝０ꎬ所以ｘ１＝ｘ２＝３
２
或ｘ１＝ｘ２＝６(舍去)ꎬ直线ＣＤ的方程为ｘ＝
３２
.综上ꎬ直线ＣＤ过定点(
３
２
ꎬ０).评析㊀本解法引进更多的参数ꎬ利用Ｃ㊁Ｄ在椭圆上ꎬ我们首先消去ｙ１和ｙ２ꎬ得到４ｘ１ｘ２－１５(ｘ１＋ｘ２)＋３６＝０ꎬ至此应用韦达定理解答显而易见ꎬ水到渠成.解析几何中ꎬ设而不求㊁加强韦达定理的应用是解答问题的重要方法.㊀㊀㊀
参考文献:
[１]２０２０年普通高等学校招生全国统一考试数
学Ⅰ卷.㊀
[责任编辑：李㊀璟
]
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