2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁）卷
数学（理科）
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集，，，则集合(  )
（A）    （B）    （C）    （D）
2．设复数满足，则(  )
（A）    （B）    （C）    （D）
3．已知，，则(  )
（A）      （B）      （C）      （杨梅怎么清洗才能洗得干净D）
4．已知表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（  ）
（A）若，，则      （B）若，，则 
（C）若，，则      （D）若，，则
5．设是非零向量，已知命题：若，，则；命题：若，，则，则下列命题中真命题是 (  )
（A）    （B）    （C）    （D）
6．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为(  )
（A）144    （B）120    （C）72    （D）24
7．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为(  ) （A）  （B） 
（C）      （D）
8．设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则(  ) （A）    （B）
（C）      （D）
9．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应函数(  )
（A）在区间上单调递减        （B）在区间上单调递增
（C）在区间上单调递减          （D）在区间上单调递增
10．已知点在抛物线：的准线上，过点的直线与在第一象限相切于点，记的焦点为，则直线的斜率为(  )
（A）        （B）        （C）        （D）
11．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是(  ) （A）    （B）    （C）    （D）
12．定义在上的函数满足：①；②对所有，且，有吴亦凡秦牛正威聊天记录。若对所有，，则的最小值为 (  )  （A）    （B）    （C）    （D）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．执行右侧的程序框图，若输入，则输出            。
14．正方形的四个顶点，，，分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在阴影区域的概率是            。
15．点与椭圆：的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在上，则      。
16．对于，当非零实数满足，且使最大时，的最小值为          。
三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）在中，内角的对边，且，已知，钟晓芹，，求： 和的值； 的值。
18．（本小题满分12分）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示。将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立。求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；用表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量的分布列，期望及方差。
19．（本小题满分12分）如图，和所在平面互相垂直，且，，分别为的中点。求证：；求二面角的正弦值。
20．（本小题满分12分）圆的切线与轴正半轴，轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为（如图），双曲线过点且离心率为。求的方程；椭圆过点且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于两点，若以线段为直径的圆心过点，求的方程。
21．（本小题满分12分）已知函数，。证明：存在唯一，使；存在唯一，使，且对中的有。
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
22．（本小题满分10分）如图，交圆于两点，切圆于，为上一点且，连接并延长交圆于点男孩子名字大全，作弦垂直，垂足为。求证：为圆的直径；若，求证：。
23．（本小题满分10分）将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线。写出的参数方程；设直线与的交点为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程。
24．（本小题满分10分）设函数，，记的解集为，的解集为。求；当时，证明：。
2013年普通高校招生全国统考数学试卷（辽宁卷）解答
一．DACBA  DBCBD  CB
二．13．；14．；15．12；16．。
17．解：因，，，故，。又，故，；
因，故。因，，故，有中秋送礼祝福语。所以。
18．解：用表示日销售量，则，，表示连续2日销售量不低于100且另一日销售量低于50，则，即所求概率为；
0
1
2
3
可取，由知，故，，，。故的分布列如右表，且，。
19．解：因，，，故为，且。同理，为，且。过作于，连，则。因此平面，从而；
结合知，故可以为原点，分别以为郑秀文电影轴建立空间直角坐标系，且易知，，，，，为平面的一个法向量。设为平面的一个法向量，则，取得。故，得。因此所求正弦值为。
20．解：设三角形两直角边长分别为，则，得，从而三角形面积，当且仅当时取等号，此时。故。又，故可解得，，从而：；
易知的焦点为，设：，则，解得，，从而：。由题可设：，代入可得，故，。由题，故。代入并化简得，解得，。因此的方程为或。
21．证明：因，，故在上存在零点。又在上，，故在单减，从而存在唯一，使；
设，令，则，有。由知当时，故在单增。又，故在无零点。当时，故在单减。又，，故存在唯一使得，从而存在唯一的，使得。当时，，故与有相同的零点，所以存在唯一的，使，且。
22．证明：延长至，则。因，故。因，故。从而，故为圆的直径；
因，故，知，故为圆的直径，得。
23．解：设是圆上的点，在已知变换下变为上的点，则。由得的方程，故的参数方程为（为参数）；
由解得或。不妨设，，则的中点为，因此的中垂线方程为即，化为极坐标方程为。
24．解：由得，故，解得，因此；
由易得，故，知。故时，。得证。