2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁)卷
数学(理科)
一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给也的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集,,,则集合( )
(A) (B) (C) (D)
2.设复数满足,则( )
(A) (B) (C) (D)
3.已知,,则( )
(A) (B) (C) (杨梅怎么清洗才能洗得干净D)
4.已知表示两条不同直线,表示平面,下列说法正确的是( )
(A)若,,则 (B)若,,则
(C)若,,则 (D)若,,则
5.设是非零向量,已知命题:若,,则;命题:若,,则,则下列命题中真命题是 ( )
(A) (B) (C) (D)
6.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的做法种数为( )
(A)144 (B)120 (C)72 (D)24
7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) (A) (B)
(C) (D)
8.设等差数列的公差为,若数列为递减数列,则( ) (A) (B)
(C) (D)
9.将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应函数( )
(A)在区间上单调递减 (B)在区间上单调递增
(C)在区间上单调递减 (D)在区间上单调递增
10.已知点在抛物线:的准线上,过点的直线与在第一象限相切于点,记的焦点为,则直线的斜率为( )
(A) (B) (C) (D)
11.当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D)
12.定义在上的函数满足:①;②对所有,且,有吴亦凡秦牛正威聊天记录。若对所有,,则的最小值为 ( ) (A) (B) (C) (D)
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.执行右侧的程序框图,若输入,则输出 。
14.正方形的四个顶点,,,分别在抛物线和上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形中,则质点落在阴影区域的概率是 。
15.点与椭圆:的焦点不重合,若关于的焦点的对称点分别为,线段的中点在上,则 。
16.对于,当非零实数满足,且使最大时,的最小值为 。
三.解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在中,内角的对边,且,已知,钟晓芹,,求: 和的值; 的值。
18.(本小题满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示。将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立。求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率;用表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量的分布列,期望及方差。
19.(本小题满分12分)如图,和所在平面互相垂直,且,,分别为的中点。求证:;求二面角的正弦值。
20.(本小题满分12分)圆的切线与轴正半轴,轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为(如图),双曲线过点且离心率为。求的方程;椭圆过点且与有相同的焦点,直线过的右焦点且与交于两点,若以线段为直径的圆心过点,求的方程。
21.(本小题满分12分)已知函数,。证明:存在唯一,使;存在唯一,使,且对中的有。
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。
22.(本小题满分10分)如图,交圆于两点,切圆于,为上一点且,连接并延长交圆于点男孩子名字大全,作弦垂直,垂足为。求证:为圆的直径;若,求证:。
23.(本小题满分10分)将圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线。写出的参数方程;设直线与的交点为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程。
24.(本小题满分10分)设函数,,记的解集为,的解集为。求;当时,证明:。
2013年普通高校招生全国统考数学试卷(辽宁卷)解答
一.DACBA DBCBD CB
二.13.;14.;15.12;16.。
17.解:因,,,故,。又,故,;
因,故。因,,故,有中秋送礼祝福语。所以。
18.解:用表示日销售量,则,,表示连续2日销售量不低于100且另一日销售量低于50,则,即所求概率为;
0 | 1 | 2 | 3 | |
可取,由知,故,,,。故的分布列如右表,且,。
19.解:因,,,故为,且。同理,为,且。过作于,连,则。因此平面,从而;
结合知,故可以为原点,分别以为郑秀文电影轴建立空间直角坐标系,且易知,,,,,为平面的一个法向量。设为平面的一个法向量,则,取得。故,得。因此所求正弦值为。
20.解:设三角形两直角边长分别为,则,得,从而三角形面积,当且仅当时取等号,此时。故。又,故可解得,,从而:;
易知的焦点为,设:,则,解得,,从而:。由题可设:,代入可得,故,。由题,故。代入并化简得,解得,。因此的方程为或。
21.证明:因,,故在上存在零点。又在上,,故在单减,从而存在唯一,使;
设,令,则,有。由知当时,故在单增。又,故在无零点。当时,故在单减。又,,故存在唯一使得,从而存在唯一的,使得。当时,,故与有相同的零点,所以存在唯一的,使,且。
22.证明:延长至,则。因,故。因,故。从而,故为圆的直径;
因,故,知,故为圆的直径,得。
23.解:设是圆上的点,在已知变换下变为上的点,则。由得的方程,故的参数方程为(为参数);
由解得或。不妨设,,则的中点为,因此的中垂线方程为即,化为极坐标方程为。
24.解:由得,故,解得,因此;
由易得,故,知。故时,。得证。
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