2020年普通高等学校招生全国统一考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A ={x |1≤x ≤3},B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（）
A.{x |2<x ≤3}
B.{x |2≤x ≤3}
C.{x |1≤x <4}
D.{x |1<x <4}2.2i 12i -=+（）
A.1
B.−1
C.i
D.−i
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（
）
A.120种
B.90种
C.60种
D.30种4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上
一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A
范志博老公处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放
置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬
度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为（）
A.20°
B.40°
C.50°
D.90°
A.62%
B.56%
C.46%
D.42%
6.基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）
A.1.2天
B.1.8天
C.2.5天
D.3.5天7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（）
A.()
2,6- B.(6,2)- C.(2,4)- D.(4,6)
-8.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（
）A.[)
1,1][3,-+∞ B.3,1][,[01]-- C.[1,0][1,)-+∞ D.[1,0][1,3]- 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9.已知曲线22:1C mx ny +=.（）
A.若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上
B.若m =n >0，则C
C.若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =
白发的演员D.若m =0，n >0，则C 是两条直线
10.下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）
A.πsin(3x +
B.πsin(2)3
x - C.πcos(26x +） D.5πcos(2)6x -11.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（
）A.221
2
a b +≥ B.122a b -> C.22log log 2a b +≥- D.≤12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1n i i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log n i i i H X p p ==-∑.（）
A.若n =1，则H (X )=0
B.若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大
C.若1(1,2,,)i p i n n
== ，则H (X )随着n 的增大而增大
D.若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且
皓镧传演员表21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
开网店流程13.
的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．
14.将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与
直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，
林心如垂足为C ，tan ∠ODC =35
，BH DG ∥，EF =12cm ，DE=2cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7cm ，
圆孔半径为1cm ，则图中阴影部分的面积为
________cm 2．
16.已知直四棱柱ABCD –A
1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD =60°．以1D 为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.在①
ac =，②sin 3c A =，③=c 这三个条件中任选一个，补充在下面问
题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
安娜贝尔的照片和身世问题：是否存在ABC ∆，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B =，
6
C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．
19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：
2概率；
（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？
附：2
2
()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k ≥0.050
0.0100.001k 3.
841 6.63510.82820.如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．
（1）证明：l ⊥平面PDC ；
（2）已知PD =AD =1，Q 为l 上的点，
求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．
21.已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．
（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．
22.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22
，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：
（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．
参考答案
一、单选题.
1.【答案】C
【解析】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U ，故选C.
2.【答案】D 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5
i i i i i i i i ----===-++-，故选D.3.【答案】C
【解析】首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有16C ；
然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数有25C ；
最后剩下的3名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有126561060C C ⋅=⨯=种.故选C
4.【答案】B
【解析】画出截面图如下图所示，
其中CD 是赤道所在平面的截线；l 是点A 处的水平面的截线，依题意可知OA l ⊥；AB 是晷针所在直线.m 是晷面的截线，依题意依题意，晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
根据平面平行的性质定理可得可知//m CD ,
根据线面垂直的定义可得AB m ⊥..
∵40,//AOC m CD ∠=︒，
∴40OAG AOC ∠=∠=︒，
∵90OAG GAE BAE GAE ∠+∠=∠+∠=︒，
∴40BAE OAG ∠=∠=︒，
∴晷针与点A 处的水平面所成角40BAE ∠=︒.
故选B.
5.【答案】C
【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，
“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，
则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，
“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，
则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，
∴()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46
=+-=∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选C.
6.【答案】B
【解析】∵0 3.28R =,6T =,01R rT =+，∴ 3.2810.386
r -==,∴()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，∴10.382t e =，∴10.38ln 2t =，∴1ln 20.69 1.80.380.38
t =≈≈天.故选B.
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