绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国I 卷（山东）
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.设集合{}1
3A x x =≤≤，{}
24B x x =＜＜，则 A B =∪（）
A .}{23x x ＜
≤B .}
{23x x ≤
≤C .}{1
4x x <≤D .}{1
4x x ＜＜2.
2i
=12i
-+（
）
A .1
B .1
-C .i
D .i
-
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）
A .120种
B .90种
C .60种
D .30种
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平
面所成角，点
A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若
晷面与赤道所在平面平行，点
A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为
（
）
A .20︒
B .40︒
C .50︒
D .90︒
5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
（
）
A .62%
B .56%
C .46%
D .42%
6.基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt
I t =描述累计感染病例数()I
t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长
率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+.有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =.据此，在
新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln 20.69≈）
（
江歌案详细过程）
A .1.2天
B .1.8天
C .2.5天
D .3.5天
7.已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅uu u r uu u r
的取值范围（）
A .()
2,6-B .(6,2)
-C .(2,4)
-D .(4,6)
-8.若定义在R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且()20f =，则满足(10)xf x -≥的x 的取
值范围是（
）
A .[)1,1][3,-+∞U
B .3,1][,[01]--U
C .[1,0][1,)
-+∞U D .[1,0][1,3]
-
U 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.已知曲线22:1
C m x n y +=（
）
A .若0m n ＞＞，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上
B .若=0m n ＞
，则C 是圆，其半径为
C .若0m n ＜
，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D .若0m =，0n ＞
，
则C 是两条直线10.下图是函数() sin
y x ωϕ=+的部分图像，则()sin x ωϕ+=
（）
A .π
sin(3x +
）B .π
sin(
2)3
x -C .π
cos(26
x +）
D .5π
cos(2)
6
x -11.已知0a ＞
，0b ＞，且1a b +=，则（
）
A .221
2
a b +≥
B .122
a b -＞许茹芸资料
C .
22log log 2
a b +-≥D .12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量
X 所有可能的取值为1，2，L ，L
n ，且
1
()0(1,2,,),1n
i i i P X i p i n p =====∑ ＞，定义X 的信息熵21
()log n i i
i H X p p ==-∑（）
A .若1n =，则()0
H X =B .若2n =，则()H X 随着1
p
的增大而增大
C .若1
(1,2,,)i p i n n
=
= ，则()H X 随着n 的增大而增大
D .若2n m =，随机变量
Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且
21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则()()
H X H Y ≤三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13
C ：
2
4y x =的焦点，且与C
交于
A ，
B 两点，则A B =________．
14.将数列
胡军的电影}21n -与{}32n -的公共项从小到大排列得到数列{}n a ，则{}n a 的前n 项和为
________．
15.某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧
AB
所在圆的圆心，A 是圆弧
AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边
形DEFG 为矩形，BC DG ⊥，垂足为C ，3
an 5
t ODC ∠=，
BH DG ∥，12 cm EF =， 2 cm DE =，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为
________2cm ．
16.已知直四棱柱
1111–ABCD A B C D 的棱长均为2，60BAD ∠=︒．以1D 面与侧面11BCC B 的交线长为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在①
ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问
题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角
A ，
2021年简短心愿B ，
C 的对边分别为
a ，
b ，
c ，且sin A B =
，
6
C π
=
，________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =．（1）求{}n a 的通项公式；
计算机科学与技术专业大学排名（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．
19.为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和3
（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2
SO 浓度有关？
如何购买货币基金附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
2()
P K k ≥0.0500.0100.001k
3.841
6.635
10.828
20.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ．
设平面PAD 与平面PBC 的交线为l ．
（1）证明：l ⊥平面PDC ；
（2）已知1PD AD ==，Q 为l 上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值．
21.已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当e
a =时，求曲线()y f
x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若
()1f x ≥，求a 的取值范围．
22.已知椭圆C
：22
221(0)x y a b a b
+=＞＞的离心率为22，且过点()2,1A ．
（1）求C 的方程：
（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使
得
D Q 为定值．
发布评论