1996年全国统一高考数学试卷（理科）
　
一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）
怎么改密码1．（4分）已知全集I=N，集合A={x|x=2n，n∈N}，B={x|x=4n，n∈N}，则（  ）
　
A．
I=A∪B
B．
I=∪B
C．
D．
　
2．（4分）（2010•兰州一模）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象（  ）
　
A．
B．
C．
D．
　
3．（4分）若sin2x＞cos2杨舒婷x，则x的取值范围是（  ）
　
A．
B．
　
C．
D．
　
4．（4分）复数等于（  ）
　
A．
B．
C．
D．
　
5．（4分）（2015•广东模拟）如果直线l、m与平面α、β、γ满足：l=β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有（  ）
　
A．
α⊥γ且l⊥m
B．
α⊥γ且m∥β
C．
m∥β且l⊥m
D．
α∥β且α⊥γ
　
6．（4分）当时，函数f（x）=sinx+cosx的（  ）
　
A．
最大值是1，最小值是﹣1
B．
最大值是1，最小值是﹣
　
C．
最大值是2，最小值是﹣2
D．
最大值是2，最小值是﹣1
　
7．（4分）椭圆（θ为参数）的两个焦点坐标是（  ）
　
A．
（﹣3，5），（﹣3，﹣3）
B．
（3，3），（3，﹣5）
C．
（1，1），（﹣7，1）
D．
（7，﹣1），（﹣1，﹣1）
　
8．（4分）若，则等于（  ）
　
A．
B．
﹣
C．
﹣2α
D．
﹣﹣2α
　
9．（4分）（2014•广西模拟）将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（  ）
　
A．
B．
C．
D．
　
10．（4分）等比数列{an}的首项a1=﹣1，前n项和为Sn，若则等于（  ）
　
A．
B．
﹣
C．
2
D．
﹣2
　
11．（5分）椭圆的极坐标方程为，则它在短轴上的两个顶点的极坐标是（  ）
　
A．
（3，0），（1，π）
B．
（，），（，）
　
C．
（2，），（2，）
D．
（，），（，）
　
12．（5分）等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（  ）
　
A．
130
B．
170
C．
210
D．
260
　
13．（5分）设双曲线=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0）（0，b）两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（  ）
　
A．
2
B．
C．
D．
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14．（5分）母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角ϕ等于（  ）
　
A．
B．
C．
D．
　
15．（5分）设f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）等于（  ）
　
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0.5
B．
﹣0.5
C．
1.5
D．
﹣1.5
　
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
16．（4分）（2010•柳州三模）已知圆x2+y2+4x+3=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则P=　_________　．
　
17．（4分）正六边形的中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有　_________　个（用数字作答）．
　
18．（4分）求值：tan20°+tan40°+tan20°tan40°=　_________　．
　
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19．（4分）如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所成角的余弦值是　_________　．
　
三、解答题（共6小题，满分69分）
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20．（7分）解不等式．
　
21．（10分）已知△ABC的三个内角A，B，C满足：，求的值．
　
22．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1．
（1）求证：BE=EB1；
（2）若AA1=A1B1；求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数．
注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为（Ⅰ）的完整证明，并解答（Ⅱ）．
（1）证明：在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足．
①∵　_________　
∴EG⊥侧面AC1；取AC的中点F，连接BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，
②∵　_________　
∴BF⊥侧面AC1；得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC1于FG．
③∵　_________　
∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，
④∵　_________　
∴FG∥AA1，△AA1C∽△FGC，
⑤∵　_________　
∴，即．
　
23．（12分）某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%．如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）
　
24．（12分）已知l1、l2是过点P（﹣，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2﹣x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．
（1）求l1的斜率k1的取值范围；
（2）若|A1B1|=|A2B2|，求l1、l2的方程．
　
25．（16分）已知a，b，c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b，当﹣1≤x≤1时，|f（x）|≤1，
求证：①|c|≤1．
②当﹣1≤x≤1时，|g（x）|≤2．
　

1996年全国统一高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）
1．（4分）已知全集I=N，集合A={x|x=2n，n∈N}，B={x|x=4n，n∈N}，则（  ）
　
A．
I=A∪B
B．
I=∪B
C．
D．
考点：
集合的包含关系判断及应用．
分析：
根据题意，分析A是正偶数的集合，而B是4的正整数倍组成的集合，易得B⊂A，做出图示，分析可得答案．
解答：
解：根据题意，A是正偶数的集合，而B是4的正整数倍组成的集合．
易得B⊂A，根据题意，做出图示可得，
由图示可得
，
故选C．
点评：
本题考查集合间的关系，图示法简单直观的方法．
　
2．（4分）（2010•兰州一模）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象（  ）