2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{4},{31}M x
N x x =<=≥∣，则M N = （
）A ．{02}x x ≤<B ．123x
x ⎧⎫
≤<⎨⎬⎩⎭
C ．
{316}x x ≤<D ．1163x
x ⎧⎫
≤<⎨⎬⎩⎭
2．若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2
-B ．1
-
C ．1
D ．2
3．在ABC △中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA CD ==，
m n ，则CB =    （
）
A ．32-m n
B ．23-+m n
C ．32+m n
D ．23+m n
4．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为2
1400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为2
1800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔
1485m ．上升到1575m ．  2.65≈）（）
A ．9
3
1.010m
⨯B ．93
1.210m
⨯C ．93
1.410m
⨯D ．9
3
1.610m
⨯
5．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）
A ．
16
B ．
13
C ．
12
D ．
23
6．
记函数π()sin (0)4f x x b ωω⎛
⎫=++> ⎪⎝
⎭的最小正周期为T ．若2ππ3
T <<，且()y f x =的图像关于点3π,22⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称，则π2f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭陈赫女儿满月晒照
（）
A ．1
B ．
32
C ．
52
D ．3
7．设0.1
1
0.1e ,
ln 0.99
a b c ===-，，则（
）
A ．a b c <<
B ．c b a
<<C ．c a b
<<D ．a c b
<<8．已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且
3l ≤≤
，则该正四棱锥体积的取值范围是（
）
A ．8118,
4⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
B ．2781,44⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦C ．2764,43⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦D ．[18,27]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．已知正方体1111ABCD A B C D -，则（）
A ．直线1BC 与1DA 所成的角为90︒
B ．直线1B
C 与1CA 所成的角为90︒C ．
直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒D ．
直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒10．已知函数3
()1f x x x =-+，则（）
区晓鸥A ．()f x 有两个极值点
B ．()f x 有三个零点
C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心
D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线
11．已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2
:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）
电子商务是什么专业A ．C 的准线为1y =-
B ．直线AB 与
C 相切C ．2
|||||OP OQ OA
⋅>D ．2
||||||
BP BQ BA ⋅>12.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=.若322f x ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，(2)g x +均为偶函数，则（
）
A ．(0)0
f =B ．102
g ⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
C ．(1)(4)f f -=
D ．(1)(2)
g g -=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．8
1()y x y x ⎛⎫-
+ ⎪⎝
⎭
的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）
．14．写出与圆2
泰安风景
2
1x y +=和2
2
(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程________________．
15．若曲线()e x
y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．
16．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为
1
2
．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
范冰冰 男人装17．（10分）
记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
是公差为1
3的等差数列．
（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：
12111
2n
a a a +++< ．18．（12分）
记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos 2A B
A B
=
++．（1）若23
C π
=
，求B ；（2）求22
2
a b c
+的最小值．19．（12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC
的面积为．
（1）求A 到平面1A BC 的距离；
（2）设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．20．（12分）
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好
良好病例组4060对照组
10
90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病体与未患该疾病体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，
(|)(|)P B A P B A 与(|)
凝固的反义词
(|)
P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程
度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)
(|)(|)
P A B P A B R P A B P A B =
⋅
；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
()
2P K k ≥0.0500.0100.001k    3.841
6.635
10.828
21．
（12分）
已知点(2,1)A 在双曲线22
22:1(1)1
x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ
的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；
（2）若tan PAQ ∠=，求PAQ △的面积．22．
（12分）已知函数()e x
f x ax =-和()ln
g x ax x =-有相同的最小值．（1）求a ；
（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
绝密☆启用前试卷类型：A
2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷）
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.D
2.D
3.B
4.C
5.D
6.A
7.C
8.C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.ABD
10.AC
11.BCD
12.BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.-28