1991年全国统一高考数学试卷（理科）
　
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）
1．（3分）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（  ）
　
A．
﹣
B．
﹣
C．
D．
　
2．（3分）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（  ）
　
A．
y2=8（x+1）
B．
y2=﹣8（x+1）
C．
y2=8（x﹣1）
D．
y2=﹣8（x﹣1）
　
3．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（  ）
　
A．
B．
π
C．
2π
D．
4π
　
4．（3分）4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（  ）
　
A．
12对
B．
24对
C．
36对
D．
48对
　
5．（3分）（2012•广东模拟）函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴的方程是（  ）
　
A．
x=﹣
B．
x=﹣
C．
x=
D．
x=
　
6．（3分）6、如果三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（  ）
　
A．
垂心
B．
重心
C．
外心
D．
内心
　
7．（3分）已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（  ）
　
A．
5
B．
10
C．
15
D．
20
　
8．（3分）8、如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，那么它的焦点的极坐标为（  ）
　
A．
（0，0），（6，π）
B．
（﹣3，0），（3，0）
C．
（0李思思的老公魏文彬，0），（3，0）
D．
（0，0），（6，0）
　
9．（3分）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（  ）
　
A．
140种
B．
84种
C．
70种
D．
35种
　
10．（3分）如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（  ）
　
A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限
　
11．（3分）11、设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么（  ）
　
A．
丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
　
B．
丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
　
C．
丙是甲的充要条件
　
D．
丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
　
12．（3分）[n（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）宋佳玲多大]等于（  ）
　
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3
　
13．（3分）如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是（  ）
　
A．
增函数且最小值为﹣5
B．
增函数且最大值为﹣5
　
C．
减函数且最小值为﹣5
D．
减函数且最大值为﹣5
　
14．（3分）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（  ）
　
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
　
15．（3分）15、设全集为R，f （x）=sinx，g （x）=cosx，M={x|f （x）≠0}，N={x|g （x）≠0}，那么集合
{x|f （x）g （x）=0}等于（  ）
　
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
16．（3分）arctg+arctg的值是　_________　．
　
17．（3分）不等式的解集是 　_________　．
　
18．（3分）已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于　_________　．
　
19．（3分）（ax+1）7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a＞1，那么a=　_________　开网店步骤．
　
20．（3分）空间四个点P、A、B、C在同一球面上，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是　_________　．
　
三、解答题（共6小题，满分60分）
21．（8分）求函数一次礼仪课2688元y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．
　
22．（8分）已知复数z=1+i，求复数的模和辐角的主值．
　
23．（10分）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2．求点B到平面EFG的距离．
　
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24．（10分）根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=﹣x3+1在（﹣∞，+∞）上是减函数．
　
25．（12分）已知n为自然数，实数a＞1，解关于x的不等式．
　
26．（12分）双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．
　

1991年全国统一高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）
1．（3分）已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（  ）
　
A．
﹣
B．
﹣
C．
D．
考点：
同角三角函数基本关系的运用． 
分析：
由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．
解答：
解：∵sinα=且α是第二象限的角，
∴，
∴，
故选A
点评：
掌握同角三角函数的基本关系式，并会运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．本题是给值求值．
　
2．（3分）2、焦点在（﹣1，0），顶点在（1，0）的抛物线方程是（  ）
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A．
y2=8（x+1）
B．
y2=﹣8（x+1）
C．
y2=8（x﹣1）
D．
y2=﹣8（x﹣1）
考点：
抛物线的标准方程． 
专题：
分析法．
分析：
先根据定点坐标代入即可排除A，B，再由抛物线的开口方向可确定答案．
解答：
解：根据题意顶点在（1，0），可知P=4，可排除A，B
又因为开口方向是向x轴的负半轴，排除C．
故选D．
点评：
本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题．
　
3．（3分）（2012•北京模拟）函数y=cos4x﹣sin4x的最小正周期是（  ）
　
A．
B．
π
C．
2π
D．
4π
考点：
同角三角函数基本关系的运用． 
分析：
观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性质的形式，即y=Asin（ωx+φ）的形式．
解答：
解：∵y=cos4x﹣sin4x
=cos2x﹣sin2x
=cos2x，
∴T=π，
故选B
点评：
对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式．另外还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法．
　
4．（3分）4、如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有（  ）
　
A．
12对
B．
24对
C．
36对
D．
48对
考点：
空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征． 
分析：
由异面直线定义入手，分类计数即可．
解答：
解：易知六棱锥的六条侧棱都交于一点，底面六条边在同一平面内，
则六棱锥的每条侧棱和底面不与其相交的四条边都是异面直线，
所以六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有6×4=24对．
故选B．
点评：
本题考查异面直线定义，同时考查分类计数原理及空间想象能力．
　
5．（3分）（2012•广东模拟）函数y=sin（2x+）的图象的一条对称轴的方程是（  ）
　
A．
x=﹣
B．
x=﹣
C．
x=
D．
x=
考点：
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 
分析：
根据正弦函数一定在对称轴上去最值，然后将选项中的值代入进行验证即可．
解答：
解：因为当x=﹣时，sin[2×（﹣）+]=sin（）=﹣1
故选A．
点评：
本题主要考查正弦函数的对称性，即正余弦函数一定在对称轴上取得最值．
　
6．（3分）6、如果三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（  ）
　
A．
垂心
B．
重心
C．
外心
D．
内心
考点：
棱锥的结构特征． 
专题：
证明题；综合题．
分析：
顶点在底面上的射影，以及二面角，构成的三个三角形是全等三角形，推出垂足到三边距离相等，可得结果．
解答：
解：侧面与底面所成的二面角都相等，并且顶点在底面的射影在底面三角形内则底面三条高的垂足、三棱锥的顶点和顶点在底面的射影这三者构成的3个三角形是全等三角形，所以顶点在底面的射影到底面三边的距离相等，所以是内心．故选D．
点评：
本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是中档题．
　
7．（3分）已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于（  ）