2021年普通高等学校招生全国统一考试 全国新高考Ⅰ 卷
数学试卷普通话考试最后一题
陈乔恩王凯注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{|24}A x x =-<<，{2,3,4,5}B =，则A B =( ) A.{2}
B.{2,3}
C.{3,4}
D.{2,3,4}
2.已知2i z =-，则(i)z z +=( ) A.62i -
B.42i -
C.62i +
D.42i +
3.( )
A.2
B. C.4
D.4.下列区间中，函数π()7sin 6f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是( )
A.π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
B.π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C.3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
林佳树D.3π,2π2⎛⎫ ⎪⎝⎭
5.已知1F ，2F 是椭圆22
描写天气的四字词语:194
x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为( )
A.13
B.12
C.9
D.6
6.若tan 2θ=-，则
sin (1sin 2)
sin cos θθθθ
+=+( )
A.6
5
-
B.25
-
C.
25
D.
65
今年封斋7.若过点(,)a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( ) A.e b a <
B.e a b <
C.0e b a <<
D.0e a b <<
8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表
示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( )
A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中
(1,2,,)i i y x c i n =+=，c 为非零常数，则( )
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
10.已知O 为坐标原点，点1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，3(cos(),sin())P αβαβ++，(1,0)A ，则( )
A.12OP OP =
B.12AP AP =
C.312OA OP OP OP ⋅=⋅
D.123OA OP OP OP ⋅=⋅
11.已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上，点(4,0)A ，(0,2)B ，则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2
C.当PBA ∠最小时，||PB =
D.当PBA ∠最大时，||PB =12.在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[0,1]λ∈，
[0,1]μ∈，则( )
A.当1λ=时，1AB P 的周长为定值
B.当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值
C.当1
2λ=
时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D.当1
2
μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数()
3()22x x f x x a -=⋅-是偶函数，则a =____________.
14.已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥.若||6FQ =，则C 的准线方程为______________. 15.函数()|21|2ln f x x x =--的最小值为________.
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm 12dm ⨯的长方形纸，
对折1次共可以得到10dm 12dm ⨯，20dm 6dm ⨯两种规格的图形，它们的面积之和21240dm S =，对折2次共可以得到5dm 12dm ⨯，10dm 6dm ⨯，20dm 3dm ⨯三种规格的图形，它们的面积之和22180dm S =，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折n 次，那么1n
k k S ==∑____2dm .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10分）已知数列{}n a 满足11a =，11(,
2(.n n n
a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数)为偶数)
（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.
18.（12分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.
已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.
19.（12分）
记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，
sin sin BD ABC a C ∠=.
（1）证明：BD b =；
（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.
20.（12分）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.
（1）证明：OA CD ⊥；
（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.
21.（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(17,0)F ，2(17,0)F ，点M 满足
122MF MF -=，记M 的轨迹为C . （1）求C 的方程； （2）设点T 在直线1
2
x =
上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.
22.（12分）已知函数()(1ln )f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：11
2e a b
吴昕李易峰<
+<.
参考答案
1.答案：B
解析：本题考查集合的描述法及基本运算.因为集合{|24}A x x =-<<，{2,3,4,5}B =，所以{2,3}A B ⋂=.
2.答案：C
解析：本题考查复数及共轭复数的概念与运算.因为2i z =-，所以(i)(2i)(2i i)(2i)(22i)62i z z +=-++=-+=+.
3.答案：B
解析：本题考查圆锥的侧面展开图.设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题意可得2ππr l =，
所以2l r ==. 4.答案：A
解析：本题考查三角函数的单调性，熟记三角函数的单调区间是解决此类问题的关键.因为π()7sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以πππ2π,2π()622x k k k ⎡⎤
-∈-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，解得
π2π2π,2π()33x k k k ⎡⎤
∈-++∈⎢⎥⎣⎦
Z ，只有A 项符合.
5.答案：C
解析：本题考查椭圆的性质，二次函数的最值.设点M 的坐标为(,)x y ，所以
21253399MF MF x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
.因为33x -≤≤，所以2
125999MF MF x ⋅=-≤，当0x =时，取得最大值9. 6.答案：C
解析：本题考查三角函数的化简与计算.因为tan 2θ=-，所以
()22
sin sin cos 2sin cos sin (1sin 2)sin cos sin cos θθθθθθθθθθθ
+++==++2sin (sin cos )sin (sin cos )sin cos θθθθθθθθ+=+=+22222sin sin cos tan tan 422
sin cos tan 1415
θθθθθθθθ++-===+++.
7.答案：D
解析：本题考查幂函数的图象与性质.因为曲线e x y =在R 上单调递增，根据其图象可知要过点(,)a b 作曲线e x y =的两条切线，则点(,)a b 应在曲线e x y =与x 轴之间，即0e a b <<.
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