安徽省十大名校2024学年全国新高三开学联考数学试题试卷
考生须知：
装修卫生间要多少钱1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC 是边长为3的正三角形，若13
BD BC =，则AD BC ⋅= A ．32-
B ．
152 C ．32 D ．152- 2．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高
处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（  ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．计算2543log sin cos ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭等于(    ) A ．32- B ．32 C ．23- D ．23儿童谜语大全3到6岁
4．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令
12
12
1ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（    ）
A ．()()()f a f b f c <<
B ．()()()f a f c f b <<
C ．()()()f b f a f c <<
D ．()()()f c f a f b << 5．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）及黄，其面积称为朱实、黄实，利用2
2()4⨯⨯+=⨯+=勾股股勾朱实黄实弦实-，化简，得222+=勾股弦.设勾股形
中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄图形内的图钉数大约为（    ）
A ．134
B ．866
C ．300
D ．500
6．若双曲线22
214
x y a -=3，则双曲线的焦距为（    ） A ．26B ．25C ．6 D ．8
7．已知函数22log ,0()22,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩
，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“12k >
”的（    ）． A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（    ）
威尼斯河道变清出现海豚A ．-2
B ．2
C ．4
D ．7
9．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（    ）
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．23
π 10．若复数z 满足(1)34i z i +=+，则z 的虚部为（  ）
A ．5
B ．52
C ．52-
D ．-5
11．设m ，n 为直线，α、β为平面，则m α⊥的一个充分条件可以是(    )
A ．αβ⊥，n αβ=，m n ⊥
B ．//αβ，m β⊥
C ．αβ⊥，//m β
D ．n ⊂α，m n ⊥ 12．函数()x f x e ax =+（0a <）的图像可以是（    ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知椭圆2212x y +=与双曲线22221x y a b
-=（0a >,0b >）有相同的焦点，其左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，且112F P F F =，则双曲线的离心率为__________．
14．在ABC 中，3AB =，1BC =，23C π∠=，则AC =__________． 15．如图，在平面四边形中，，则_________
16．在长方体1111ABCD A B C D -中，13,4AD AA AB ===，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值为（    ） A ．25 B ．25 C ．225 D ．45
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设抛物线2:2(0)C y px p =>过点(,2)(0)m m m >.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）F 是抛物线C 的焦点，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若2BF FA =，求||AB 的值.
18．（12分）设函数()()()1ln 10x f x x x ++=
>. （1）若()1
k f x x >+恒成立，求整数k 的最大值； （2）求证：()()
()2311212311n n n e -+⨯⋅+⨯+⨯+>⎡⎤⎣⎦. 19．（12分）已知函数()|||2|(),()|2|()f x x k x k R g x x m m Z =-++∈=+∈．
（1）若关于x 的不等式()1g x 的整数解有且仅有一个值4-，当1k =时，求不等式()f x m 的解集；
（2）已知2()23h x x x =-+，若12,(0,)x R x ∀∈∃∈+∞，使得12()()f x h x 成立，求实数k 的取值范围．
20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形, ,//,AB AD AB CD PC ⊥⊥底面ABCD  224,2,AB AD CD PC a E ====，是PB 的中点.
（1）.求证：平面EAC ⊥平面PBC ;
（2）.若二面角P AC E --6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 21．（12分）在平面直角坐标系
xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线C ：24y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆
心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．
（1）求曲线E 的方程；
（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(),Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，.B 当线段AB 的长度最小时，求s 的值．
22．（10分）选修4-5：不等式选讲
设函数()()22,f x x a x x R a R =+--∈∈.
（1）当1a =-时，求不等式()0f x >的解集；
（2）若()1f x ≥-在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A
【解题分析】 由13BD BC =可得13
AD AB BD AB BC =+=+，因为ABC 是边长为3的正三角形，所以221113()33cos12033332
AD BC AB BC BC AB BC BC ⋅=+⋅=⋅+=⨯︒+⨯=-，故选A ． 2、A
【解题分析】
由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.
刘忻照片【题目详解】
解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件，马丽孕肚写真
故选：A.
【题目点拨】
本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.
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3、A
【解题分析】
利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.
【题目详解】
原式2221log cos 2log cos log 232322πππ⎤⎤⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-==⎥⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦
3223log 22-==-. 故选：A
【题目点拨】
本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.
4、C
【解题分析】
可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系.
【题目详解】