人大附中2020-2021学年度高三年级八月练习
数 学
命题人：王鼎 审题人：吴中才 2020年08月18日
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合1}{0|A x x −≥=，{0 1 2}B =，，，则A
B =（ ）
A ．{0}
B ．{1}
C ．{1 2}，
D ．{0 1 2}，
，
2．已知i 为虚数单位，若1iz i =−+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑
堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，其体积为（ ） A ．1 B
C ．2
D
．4
．6
2x ⎛
⎝
展开式中2x 项的系数为（ ）
A ．160−
B ．20−
C ．20
D ．160
5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四
个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．则下列说法不正确的是（ ） A ．立春和立冬的晷长相同 B ．立夏和立秋的晷长相同
C ．与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长
D ．与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长 注：“相差”是指差的绝对值
6．点P 在曲线24y x =上，过P 分别作直线1x =−及3y x =+的垂线，垂足分别为G ，H ，
则PG PH +的最小值为（ ） A
．2
B
．C
．
2
1+ D
2+
左视图
俯视图
主视图
7．“sin 0x x +>”是“sin 0x x −>”的（ ）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
8．以Ox 为始边作钝角α，角α的终边与单位圆交于点11)(P x y ，，将角α的终边顺时针旋
转
π
3
得到角β．角β的终边与单位圆相交于点22)(Q x y ，，则21x x −的取值范围为（ ）
A ．1( )2，
B ．1(2
C ．1( 1)2，
D ．1( 1]2
，
9．若圆P 的半径为1，且经过坐标原点，过圆心P 作圆22(4)(3)4x y −+−=的切线，切点
为Q ，则PQ 的最小值为（ ） A
B ．
C ．2
D ．4
10．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃．现有甲乙
丙三地连续5天的日平均温度（都是正整数，单位：℃）的记录数据如下： ①甲地5个数据的中位数为26，众数为22； ②乙地5个数据的平均数为26，方差为5.2；
③丙地5个数据的中位数为26，平均数为26.4，极差为8. 则从气象意义上肯定进入夏季的地区是（ ） A ．①②
经典圣诞节祝福语B ．①③
C ．②③
D ．①②③
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。陕西二本学校
东方神起成员恋情11．双曲线C ：22
1916
y x −=的焦距是__________．
12．已知{}n a 是等差数列，{}n n a b +是公比为c 的等比数列，11a =，10b =，35a =，则数
列{}n a 的前10项和为__________，数列{}n b 的前10项和为__________（用c 表示）． 13．已知AOB △为等腰直角三角形，1OA =，OC 为斜边的高．
（Ⅰ）若P 为线段OC 的中点，则AP OP ⋅=__________．
（Ⅱ）若P 为线段OC 上的动点，则AP OP ⋅的取值范围为__________． 14．不等式20t at −≥对所有的[1 1]a ∈−，都成立，则t 的取值范围是__________． 15．在实数集R 中定义一种运算“*”，具有以下三条性质：
（1）对任意 0a a a ∈*=R ，； （2）对任意a b a b b a ∈**=R ，，；
（3）对任意()() ()()2a b c a b c c ab a c b c c *****∈=++−R ，，，．
给出下列四个结论： ①2(02)0**=；
②(20)(20)8***=；
③对任意()()a b c a b c b c a ∈**=**R ，，，； ④存在 ()()()a b c a b c a c b c ∈+*≠*+*R ，，，． 其中，所有正确结论的序号是__________．
注：本题全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题13分）如图，三棱柱111ABC A B C −中，AB ⊥平面11BB C C ，点E 是棱1C C 的
中点，已知1111112A B B C C C B E ====，． （Ⅰ）求证：1B B ABC ⊥平面； （Ⅱ）求二面角11A EB A −−的余弦值．
17．（本小题13分）在ABC △
中，sin A B =，π
6
C =
，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC △存在，求c 的值及ABC △的面积．
条件①：c =；
条件②：ac ； 条件③：sin 3c A =． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
人执行任务，且每个人只派一次．每人工作时间均不超过10分钟，如果10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人；如果10分钟内已完成任务则不再派人．现在一共只有甲乙丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为123213
324
p p p ===，，．假定
各人能否完成任务相互独立． （Ⅰ）计划依次派甲乙丙执行任务，
①求能完成任务的概率；
②求派出人员数X 的分布列和数学期望()E X ．
（Ⅱ）欲使完成任务的概率尽可能大，且所取需派出人员数X 的数学期望尽可能小，你认
为应该按什么次序派出甲乙丙？（直接写出答案即可）
1
1
1
19．（本小题15分）已知函数32()232f x x ax =−+.
（Ⅰ）若0a =，求过曲线()y f x =上一点(1 0)−，的切线方程；
（Ⅱ）若0<<3a ，()f x 在区间[0 1]，的最大值为M ，最小值为m ，求M m −的最小值．
20．（本小题15分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的左右顶点分别为A ，B ，上顶点为
T ，8AT TB ⋅=．点M ，N 为椭圆C 上异于A ，B 的两点，直线AM ，BN 相交于点P ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若点P 在直线9
2
x =上，求证：直线MN 过定点．
21．（本小题15分）已知m n k ，，为正整数，4n ≥，3k ≥，A 是由m n ⋅个不超过k 的正整
数组成的m 行n 列的数表，其第i 行第j 列为,i j x ，1i m ≤≤，1j n ≤≤，满足： ①对任意1i m ≤≤，21j n ≤≤−，均有,1,,1i j i j i j x x x −+，，互不相等； ②对任意1i m ≤≤，不存在1a b c d n ≤<<<≤，使得,,i a i c x x =且,,i b i d x x =； ③当2m ≥时，对任意1i j m ≤<≤，存在1k n ≤≤，使得,,i k j k x x ≠． 记()k S m n ，为所有这样的数表构成的集合． （Ⅰ）写出3(2 4)S ，
中的一个元素； （Ⅱ）若4()S m n ≠∅，，则当n 最大时，求m 的最大值；
（Ⅲ）从问题（一）问题（二）中选择一个作答．如选择问题（一），本题满分改为14分．
问题（一）：求集合{}
**4()4S m n m n n ∈∈≥N N ，，，的元素个数． 问题（二）：求集合11(3 21)S ，
的元素个数． 注：如果选择问题（一）和问题（二）分别解答，按第一个解答计分．
人大附中2020-2021学年度高三年级八月练习
数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）C （2）A （3）C （4）A
（5） D （6）B
（7）A
（8）D
（9）B
西方世界的劫难3攻略（10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）10
（12）10
901100
11000 11c c c c −=⎧⎪
⎨−−+
≠⎪−⎩
，当时，，当，时 （13）11
[ 0]8
8
−
−， （14）( 1]{0}[1 )−∞−+∞，，
（15）②③④
注：第14题仅漏掉“0”的得3分． 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）
解：（Ⅰ）依题意，在11B C E △中，112B C =，15B E =，111
12
C E C C ==，
所以2221111B C C E B E +=． 所以1190B C E ∠=．
又因为三棱锥111ABC A B C −中，四边形11BB C C 为平行四边形， 所以四边形11BB C C 为矩形． 所以1B B BC ⊥．
…………… 2分
因为11B B C A B C ⊥平面，111BB BB C C ⊂平面，
所以1B B AB ⊥．
又因为AB BC ABC ⊂，平面，AB BC B =，
所以1B B A B C ⊥平面． …………… 4分
（Ⅱ）因为11B B C A B C ⊥平面，11BC BB C C ⊂平面，
所以AB BC ⊥．
如图建立空间直角坐标系B xyz −，
…………… 5分
则(0 0 2)A ，，，(2 1 0)E ，，，1(0 2 0)B ，，
，1(0 2 2)A ，，，1(21 0)B E =−，，， 1(02 )2B A =−，，，112(0 0 )B A =，，．
…………… 7分
设平面1AEB 的法向量为()x y z =，，n ，则
1100B E B A ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，，n n 即20220x y y z −=⎧⎨−+=⎩
．，
令1x =，则2y =，2z =． 于是(1 2 2)=，，n ．
…………… 9分
最有效的学习方法z
y
宋仲基首尔粉丝会x
C 1
C
B 1
B
A
A 1
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