［关键词］小学数学；思维可视化；问题解决；策略
［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（2020）20-0039-03
思维可视化是指把抽象的思考方法和过程通过可视的图式或图像呈现出来，让学生的思维充分暴露，让学习深度发生。
陈都灵微博一、充分暴露学生的思维过程，让学习可见
要暴露学生的思维过程，可以借助图示。画图是解决抽象问题时的常用手段，可以帮助学生直观理解题目的意图。如三年级上册第五单元“倍的认识”一课：你能让大家一眼看出胡萝卜和白萝卜之间的倍数关系吗？试一试。
（）是（）的（）倍。
“倍的认识”是一个比较抽象的内容，学生比较难理解“倍”的意义、建立“倍”的概念。针对10根白萝卜和2根胡萝卜之间的倍数关系，让学生尝试画图，将思维可视化，真实了解学生的学习情况。
1.实物图
你能让大家一眼看出胡萝卜和白萝卜之间的倍数关系吗？试一试。
图1
如图1所示，有的学生画出胡萝卜和白萝卜的实物图，然后通过圈一圈，直观地看出白萝卜的数量是胡萝卜的5倍。
2.图形图
你能让大家一眼看出胡萝卜和白萝卜之间的倍数关系吗？试一试。
图2
如图2所示，有的学生把胡萝卜和白萝卜画成同一种图形，然后也是通过圈一圈，直观地看出白萝卜
的数量是胡萝卜的5倍。这种方法更简洁明了，思维层次比画实物图高。
3.线段图
你能让大家一眼看出胡萝卜和白萝卜之间的倍数关系吗？试一试。
图3
如图3所示，有的学生采用更抽象的数字和线段图来呈现自己的思维过程。他们将具体的萝卜数量抽象成数字，体现10里面有5个2，也就是10是2的5倍。
以上，教师引导学生借助多元表征将思维可视化，尊重不同个体的个性表达，关注了学生表征发展的层次，发展了学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等学科核心素养。
二、暴露学生的思维认知起点，重构学习概念
1.说图
说图，，表达原始的思维过程
当学生把头脑中的思维通过画图的方式呈现后，还要用语言把画的图说出来，表达原始的思维过程。如“两位数乘两位数”的练习中有一道习题：
三年级跳集体舞的同学排成一个长方形。小婷站在左起第7列，右起第11列；从前数她是第8个，从后数她是第12个。你知道三年级共有多少人跳集体舞吗？
一位学生画图呈现了思维过程（如图4）
。
图4
（1）自己说，自己整理思路
“用1个圆圈代表1个人，小婷从左边数是第7个，从右边数是第11个，从前面数是第8个，从后面数是第12个，所以这样画。算式就是17×19。”这位学生用自己的语言描述，但是表述不完整。对于17×19这个算式，部分学生理解有困难。
（2）引导说，完善思维过程
在该生的基础上，笔者引导学生思考：“这个17代表什么？19又代表什么？为什么这两个数相乘，
思维可视化在问题解决中的应用策略
浙江杭州经济技术开发区江湾小学（311215）徐娇
教研引领
就是我们要求的答案？”学生继续思考，终于明白：“因
为从左边数她是第7个，从右边数是第11个，她自己
重复了，所以是7+11-1=17，说明一共有17列；从前面
数她是第8个，从后面数是第12个，她自己也重复了，
所以是8+12-1=19，即一列有19人。要求一共有多少
人，就是17×19。”
学生通过画图表达自己的原始思考，再根据教师
的引导完善自己的思维过程，充分把自己的思维过程
体现出来并进行再思考，提升了思维的深刻性。
2.对话
对话，，审视思维过程的方法
课堂应该以学生为主体，教师要努力打造生本课
堂。生生对话，能让学生用儿童化的语言表达个人的
不同观点，审视自己的思维过程，实现思维的发展。
在六年级上册第一单元“分数乘分数”中有一道练习
题：李伯伯家有一块1/2公顷的地，种土豆的面积占了
这块地的1/5，问：
种土豆的面积是多少？
图5图6
（1）生生对话，促进思考
对于图5、6两种不同的画法，让学生之间进行对
话、提问，请作品主人说一说他是怎么想的。通过生
生对话，图6的主人发现自己画的左图是表示1/2，右
图是表示1/5，这两幅图的阴影部分的面积之和是1/2+
1/5，而题目的意思明显不是用加法，求一个数的几分
之几，应该用乘法解决。因此，图6明显画错了。在
此过程中，课堂完全交给这些小主人，他们通过自行
的交流、思考，自己就能把错误的做法给排除了。
（2）师生对话，引发思考
在交流过程中，学生认为图5的画法是正确的，
它表示把长方形先平均分成2份，取其中的一份就是
1/2，再把1/2平均分成5份，取其中的一份就是1/2的
1/5，也就是1/10。当教师第一次询问是否都同意这
样画，有没有什么不同的画法或建议时，学生都认为
这样画已经很好了。教师再次提问：“那你们知道1/2
在哪里吗？1/5又在哪里？”此刻，学生才意识到要把
1/2也清楚地标注出来，然后在这个1/2里它的1/5，
让人一眼就看得清楚。经过交流、思考、修改，学生展
示了最后的作品（如图7）。
当学生的学习无法继续的时候，教师要适时地引
导，促使学生思考与反思，这样才能更进一步提升学
生的数学思维能力。
3.重构
重构，，巩固已有的思维方式
“错误”是学生学习中的一种思维过程的体现，也
是课堂教学中的宝贵教学资源，我们要充分暴露学生
的思维，促进学生情感和思维的发展。如“数学广角
——搭配（二）”的练习课中，部分学生对于这两种类
型的题往往分不清。
类型1：王老师有3件上衣，2条裤子，一共有多少
种搭配？
类型2：5个小朋友，每两个人通一次电话，一共
需要通多少次电话？
对于衣服和裤子的搭配，学生列出的算式是3×2=
6（种），用乘法；对于互通电话列出的算式是5×2=10
日本战国（次），也是用乘法。
（1）与错误对话，重构已有的错误认知
教师先让学生把目光聚焦到类型2这道题，询
问：“你是怎么想的？你能画一
画吗？”学生呈现的图示如图8
所示。从图示可以看出，学生
把两种类型的题目搞混了，列
出的算式与图示不符。通过让
学生思考“1号和2号能通电话吗？1号和3号能通电
话吗？”，让学生了解这样理解是不全面的，1号与2、
3、4、5号都能通电话，而2号再和1号通电话就是重空调自动开机
复了，所以这个类型的题目并不是用“搭配衣服”的模
型来解决。通过与错误对话，重构学生的认知。
（2）与模糊对话，明晰已有的认知起点
从图8可以看出，学生对于两种类型的题目的认
知是模糊的，脑海中没有清晰的思路和明确的认识。
这就要求教师在学生思路模糊的时候，及时帮助他们
明晰已有的认知起点，
把两种类型重新建构。
图9图10
图9解决的是类似每2人之间打电话、送信、比赛
等问题，不能重复计算，对应类型2；而图10解决的是
从两个类别中各选取一项进行搭配，对应类型1。这
两个类型的题目其数学模型就是“组合”问题。学生
在解决这两类问题时，要分清楚是哪种类型的问题，
再通过画图等方式，选择合适的方法进行解答。
三、暴露思维过程的方法多样化，优化学习方法
在暴露思维的过程中，学生的方法是多种多样
的，都应给予肯定，但在学习多种方法后，还是要优化
方法，寻解题的最佳方案，提升数学学习的有效性。
如“数学广角——鸡兔同笼”一课，学生对于鸡兔同笼
问题的解法有很多。
例：鸡兔同笼，一共有20个头，54条腿，请问：鸡
图
8
图
林美照
7
教研引领
丰田发展史［摘
要］从狭义上来说，生涯规划基本等同于职业规划，即对个人的主客观条件进行评测、分析和总结，包括个人能力、兴趣
爱好等，再结合时代特点，如各行业发展趋势，最终得出个人的职业奋斗目标，并制订出为实现这一目标所需采取的计划。对于小学生来说，他们的未来有着无限可能，这一阶段的生涯规划教育更多的是为了让他们对社会、对自身先拥有一个较为清晰的认识，树立远大的理想，为将来更实际、更精确的职业发展规划打好基础。冰柜不制冷的原因
［关键词］小学数学；生涯规划；渗透；联系；以生为本；评价［中图分类号］G623.5
［文献标识码］A
［文章编号］1007-9068（2020）20-0041-02
在实际教学中可以发现，有些学校已经有意识地
开设与生涯规划教育有关的课程。实际上，随着时代的发展，教材中已经出现了大量生活化的内容，这些内容中就对一些常见的职业有所体现。因此，各科教学就可以把生涯规划教育渗透其中，在潜移默化中帮助学生树立生涯规划意识。任课教师要在保证教学进度、符合教学计划的基础上进行合理的发散。本文即从小学数学教学的角度，简要谈一谈数学教学与生涯规划教育的合理结合。
一、以生为本，引导学生理解生涯规划小学生年龄尚小，他们虽然各有各的理想，比如长大后想成为科学家、工程师、航天员等，但严格说起来还算不上是生涯规划，因为他们没有具体考虑过应
该怎样才能实现这些目标。因此，教师首先要做的是让学生理解生涯规划不能只是有想法，还要付出相应的努力。其基本原则必须把握住，即学生的生涯规划，归根结底要从学生自身的意愿出发。
以小学数学一年级上册教材开篇为例，“生活中的数”中其实就有很多细化的职业，比如“快乐的家园”中
有一位农民的形象，有的学生就会说长大后想成为一名农民；又如“玩具”中有直升机和汽车，有的学生就会说想当飞行员或司机。一年级学生年龄还小，教师在此阶段要做的是先根据学生表达出的意愿，在教学过程中简单讲述这些职业需要做什么，让
浅析小学数学中生涯规划教育的渗透
浙江东阳市实验小学（322100）吴旦英
和兔各有多少只？
头/个2020202020
鸡/只123
...13兔/只191817 (7)
腿/条787674 (54)
方法一（列表法）：
方法二（画图法）：
兔：
……（一共7只
）
鸡：……（一共13只
）方法三（抬腿法）：
如果鸡和兔同时抬起2条腿，则地面上还有54-2×20=14（条）腿（全是兔的），而我们知道每只兔比每只鸡多2条腿，则有
兔：14÷2=7（只）鸡：20-7=13（只）方法四（极限法）：
假设20只全部是兔，则有20×4=80（条）腿。比54条多出了80-54=26（条）腿，而每只鸡比每只兔少2条腿，则有
鸡：26÷2=13（只）兔：20-13=7（只）
1.优化学优化学习方法习方法，，暴露思维全过程
解决此问题主要有列表法、画图法、抬腿法、极限法（假设法）等。课上让学生进行各种方法的优化、比较，学生喜欢画图法和列表法的比较多，他们认为画图法和列表法能清晰、直观地知道鸡有几只、兔有几只；而抬腿法、极限法相较于画图法、列表法来说比较难理解。
2.掌握学习方法掌握学习方法，，提升数学学习素养
在解鸡兔同笼问题时，学生采用的画图法与教材中提供的方法一致；列表法则渗透着列举和猜想的思想方法；抬腿法和极限法渗透着假设的思想方法。由列举法和画图法的解题过程，可以归纳出解决此类问题的数学模型，因此也渗透了数学的模型思想。
思维可视化是一种解题的思路和策略，学生通过可视化的表达路径，在看图、说图、比较的过程中，掌握学习解决这类问题的方法，从而提高解决问题的能力，提升学科素养。
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吴美玲）
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