——以《银行贷款问题》为例
上海市徐汇中学（200030）马云豪
［摘
要］数学建模素养是2017年版《普通高中数学课程标准》提出的六大数学核心素养之一.数学建模作为数学联系实际的
重要桥梁，作为数学应用的重要表现形式，在数学教学中越来越受到重视.探索数学建模教学能有效提升学生的数学素养.
［关键词］数学建模；银行贷款；核心素养［中图分类号］G 633.6
［文献标识码］A
［文章编号］1674-6058（2021）05-0009-02
一、数学建模于数学教育的意义
2017年版《普通高中数学课程标准》中，首次提
出了数学学科的六大核心素养，数学建模在列.数学
建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模构建了“提出问题→建立模型→解决问题”的程序链.课程标准将数学建模的过程进行了细化解释：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.
数学建模作为数学与实际生活的桥梁，及数学应用的主要形式，正日益受到重视.
二、数学建模教学案例
基于以上认识，笔者选择沪教版高一年级数列教学中的《银行贷款问题》做了初步尝试.
案例教学——银行中的数学.
表1
项目
城乡居民及单位存款
佟丽娅谣言是什么（一）活期（二）活期1.整存整取三个月半年一年二年三年五年
年利率%
0.31.351.551.752.252.752.75问题1：某银行利率如表1，现马老师向他人借了
100万元，打算整存整取存入银行，
（1）按一年期定期储蓄，到期后共可获得多少钱？1000000×(1+1.75%)=1017500（元）.
（2）按三年期定期储蓄，到期后共可获得多少钱？1000000×(1+2.75%)=1027500（元）.（3）按半年期定期储蓄，到期后共可获得多少钱？
1000000×()
1+1.75%
12
×6=1008750（元）.
设计问题1，以此来帮助学生复习存款问题，同
时理解期数的概念，进而引入借贷问题.
问题2：马老师最近打算购置新房，打算向他人借取100万元，分期15年，逐月归还，请你帮他计算一下，每个月需要还多少钱？
1000000÷180=50000
9
（元）.
问题2的设计是希望学生能够联系实际，发现问题，意识到在借贷问题中还需要考虑利息因素，从而引出银行贷款中的利率问题.
问题3：马老师计划向银行申请公积金贷款100万元，分期15年，共计180期归还，公积金贷款年化利率为3.25%.银行为马老师提供了一种等额本金的还款方式，既在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息.
每月还款金额=贷款本金期数
+（本金-已归还本金
累计额）×每期利率.
（1）马老师第一期需还款多少钱？（2）马老师第三期需还款多少钱？（3）马老师第n 期需还款多少钱？
设数列{}a n 表示每期所还利息，数列{}b n 表示每期还款金额，数列{}c n 表示每期还款后所欠本金.
表2
1
2
5555.55
5555.55
1000000×3.25%
12
=2708.33994444.44×3.25%
12
=2693.288263.88
8248.84
1000000-5555.55=994444.441000000-5555.55×2=988888.88
期数每期所还本金每期所还利息每期还款金额还后所欠本金数学·教学研究
3
…
n-1
n
5555.55
5555.55
5555.55
988888.88×
3.25%
12=2678.24
a n=c n-1×3.25%12
8233.79
b n=a n+
5555.55
1000000-
5555.55×3=
983333.33
c n-1=1000000-
5555.55×(n-1)
c n=1000000-
5555.55n
续表
期
数
每期所
还本金
每期所还利息
每期还款
金额
还后所欠本金
教师首先给出等额本金还款方式的模型，学生需
要根据题目提供的信息理解模型.其中理解的难点
有：①每期利率；②已归还本金累计额.教学时可以通
过表格的方式，引导学生对三个数列做不完全归纳，
从而得出第n期还款额的通项公式：
a
n=
1000000
180+
(1000000-1000000180×(n-1))×
3.25%
12.
问题4：马老师每月工资为8000元，无法承担等
额本金前期的还款金额，已知公积金贷款最高贷款额
为100万元，最长贷款年数为30年，贷款利率为
3.25%，马老师依然计划申请公积金贷款，请你帮他设
计一个贷款方案，每期需还款多少钱？
该问题的设计主要是希望学生体会到建模过程
中如何确定和调整参数.
方案一：降低贷款总额，当贷款总额降低到96万
二建证考试需要什么条件元，首期还款为7933.33元，之后逐期减少，马老师可
以承担.
方案二：延长贷款年限，当贷款年限为30年时，
首期还款为5486.11元，之后逐期减少，马老师可以
承担.
问题5：马老师依然觉得无法接受等额本金前期
的还款金额，于是银行提出另一种还款方式，既等额
本息还款方式：在还款期内，每期偿还同等数额的贷
款（包括本金和利息），贷款的利息按复利计算.马老
师依然计划申请公积金贷款100万元，分360期归还，
公积金贷款利率为3.25%，则每期需还款多少钱？
360期后总共还款多少钱？
问题5设计了生活中常用的等额本息的还款方
式，是希望学生能从实际问题出发，分析问题，建立模
型，从而解决实际问题.
在教学过程中，教师使用递推法来帮助学生理解
问题5.对问题5部分参数进行改变，进而探求一般化
情况.
设第n期还款后欠银行的本金为数列{}a n，初始
值a0元（即贷款金额），每期利率为β，总期数为m，每
期需还款A元，则数列{}a n满足递推公式：
a
n=a n-1(1+β)-A，1≤n≤m.
从而构造出一阶线性递推：
a
n-
A
β=(1+β)
()
a
曾经在我眼前却又消失不见n-1-
A
β；
即a n-Aβ=
()
a0-Aβ(1+β)n；
从而a n=a0(1+β)n+A
李准基跨年[]
1-(1+β)n
β
.
又∵a m=0，∴a m=a0(1+β
)m+A(1-(1+β)m)
β=0.
从而可计算出每月还款金额为A=
a0β(1+β)m
(1+β)m-1.
三、对数学建模教学的反思
1.数学建模教学需要充分的铺垫.本课时原计划
在一节课的时间内对等额本金和等额本息两种还款
方式都让学生进行体验和探索.而学生对相关知识的
很多背景材料都很陌生，需要教师进行解释，同时学
生还需要对两种还款方式进行计算求解，能有充足的
时间参与到数学建模活动中.因此，在实际教学中，可
将本课时的内容拆分成两课时进行教学.因此，在数
学建模教学过程中，对建模材料的铺垫必须要充分，
教师需要对时间有足够的估计.
2.问题设计要与数学建模的环节有清晰的对应.
教学设计中对问题的设计能对应到数学建模的某个
环节，对数学建模活动进行分解，能针对某个环节进
行训练.如本课时中，进行了如下设计.
3.参数调整能够有效地提升学生对建模的理解.
如本课时问题4的设计，学生通过调整贷款总额和贷
款年限进一步理解数学建模活动.实际上，数学建模
是非常复杂的过程，数学建模教学需要区分与现有教
学的区别.如果仅仅是面面俱到的教学，效果可能未
必好.因此，建模教学可以仿照函数教学，对建模活动
的每个环节进行分割，分步教学.
［参考文献］
［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年
版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.
欧阳娜娜［2］朱江红.等比累进还款法与等额累进还款法的数学模型
［J］.沧州师范学院学报，2017（2）：6-9.
（责任编辑黄桂坚）数学·教学研究
发布评论