求三角形周长(面积)范围类问题解法探究
楚雄第一中学赵
解三角形是高考的常考题型，主要出现在高考试卷 的解答题中，以解答题第17题的位置较为常见，偶尔也会 出现在选择题和填空题中.其考法主要围绕着正、余弦定 理，结合三角恒等变换，重点考査正、余弦定理的边角互 化及三角恒等变换公式的灵活应用，往往要求考生计算 边长、周长和面积的大小或范围.这类试题以中档题为主， 是考生志在必得却又容易卡壳的题目之一.本文主要以三 角形周长范围的求解为例，探讨此类题的解法，总结解题 规律，帮助考生摆脱“会而不对，对而不全”的苦恼.解决这类问题的方法主要有两种：一是利用“正弦定 理结合三角函数的值域”来求得最终范围；二是利用“余 弦定理结合基本不等式”来构造不等式使问题得到很好 的解决.在遇到此类问题时，学生往往偏向于计算量相对 较少的“余弦定理结合基本不等式”的解题思路来解决问题，但随着解题的深人，往往会遇到诸如范围被放大或缩 小的困境；另外一部分学生会考虑用“正弦定理结合三角 函数值域”的求解策略，但随着解决问题的深人往往会受 正弦定理转化的影响使问题变得“无从下手”，最终使自 己的心态从“满满的期待”转变为“满心的无奈与紧张那 么，当我们遇到这样的问题时，应该采取什么样的解题策 略呢？
高一历史教学计划原题呈现：在锐角A /1SC 中，角的对边分别为 a ,6 ,c ，已知6=3，sin /l +asinfi =2
(1) 求角4的大小;
(2) 求周长的取值范围.对于A 4S C 周长的取值范围问题，我们驾轻就熟的往 往是“已知三角形的一个内角和其对边求周长的大小或 周长的最值”这一类问题.而本题的第(2)问却巧妙地避开① 当a 矣1时，由1矣*矣3得g U )矣0，/，U )«0，.../U ) 在[1,3]上单调递减，此时/(x K 1 )=-a -l =-2，解得a =l ;② 当时，由 1以《3得g U )>0，/，(*)>0, .•./0«:)在[1,3]上单调递增，此时/U )_=/(3)=U -l )ln 3-f -3=-2，解得a =」^±L <3，舍去；ln 3-—3③ 当l <a <3时，由 l <Cc <a 得g (;c )>0，/彳*)>0，由a <x <3得 g U )<0,/' U )<0，此时/U )在[1, a ]上单调递增，在[a , 3]上单 调递减，从而〇 )=( a_ 1) l na_ 1 _a =_2，解得a =e .综上所述，a =l 或a =e .【点拨】在例4中,/'U )的函数值符号由函数g U )z -U +D U -a )的函数值符号决定，/'U )的零点即的 零点为-1和a ，其中a 与定义域[1,3]的关系不确定，应分为 三类，即①a 矣1,②a >3,③l <a <3.
总之，在解函数导数综合题的过程中，当导函数含函
数g U )=ax +6，且导函数的符号由)函数值符号决定，要
根据一次项系数的符号进行分类.当导函数含函数g U )
z a ^+h +c ，且导函数的符号由g U )函数值符号决定，要把 握好分类讨论的层次.一般按下面次序进行讨论：首先，根 据二次项系数的符号进行分类；其次，根据方程g U )=0的 判别式A 的符号进行分类；最后，在根存在时，根据根的 大小进行分类.
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了平时复习中“练熟练透”的解题方法，把已知条件由常 规的“已知三角形的一个内角和其对边”变为“已知三角 形的一边和与这条边不相对的角”，还加上了一条限制一“A/l f i C为锐角三角形”，最终要求考生求“周长的 取值范围”，成功地把一道毫无新意的“陈题”装满了“新 酒解决该题的第(2)问时无论考生选择“余弦定理结合 基本不等式”，还是选择“正弦定理结合三角函数值域”的解题策略都会不同程度受挫，造成一定的心理负担.
一、一波三折，尝试解答
在解决第(2)问时，如果采用“余弦定理结合基本不 等式”的解题策略，能顺利地解决问题吗？我们又会遇到 哪些困惑呢？
第一种境遇，由第(1)问很容易求得/1= |，结合已知条件6=3，我们容易想到P d+c^a cco sB或^(a+c)2 -l a c d+c o s S)，但苦于B角未知导致解题受阻，进而尝试 a^/^+^-Sfcccos/l或 +c)2-26c(l+cos/4)，也因没有任
何解题进展而放弃，最终无奈地写下“a+c>3”这一常见结 论，出现虽“惺惺相惜，但不得不罢手”的遗憾，
因为这个 题由不得考生花太多的时间尝试.
第二种境遇，尝试用“正弦定理结合三角函数值域”求解，考生受制于定式思维的影响，往往第一时间想到 a=2/?sin/4, 6=2/?siaB ,c=2/?sinC ，进一步得到a+ c= 2/f (sia4+S inC)，结合/I+S+C=i7，快速地达到统一角的目 标，欣喜之余，发现2/?成了解下去的拦路虎，解题受挫，产 生“放弃与坚持”的纠结.
第三种境遇，考生静下心来认真审视正弦定理+
sirvi
=2f t的结构和已知条件“6=3,4 =，到解sin B sinC
决问题的突破口，通过尝试发现，虽然“边不是角的对边，角也不是边的对角”，但只要搭配得当，也一样可以达到
2V J
统一角的目标.由-
sin5-可知，c
sin；4 sinB孙亚龙微博
梁家辉妻子3sinC
-可知,0
sinB
，进一步得到a+c=
2s\n B
3V T
高速免费日期2022春节；再由
c
sinC
3sinC
合三角形内角和定理可知a+c:3V T
2s\nB
2sinB sin B
3sin(^--B)
sin/?
，结
，化
简得a+c=
3V T
2
1+cosB 3 _ 3\^3~
sin B 2 2
1+w寻-i
..B B
zsin—cos—
22
•一1到此，本题基本上可以算是考生
2 2 B2
tan—
2
的囊中之物了，但部分欣喜若狂的考生可能会忘记题设
对“三角形为锐角三角形”这一条件的限制而出现“大意
失荆州”的苦恼与失落.由A/1S C为锐角三角形可知
2
(I,I)，进一步求得tan!£(2-\A T,l)，从而求得
12 4 2
-^E(1,2+\A T),q+c E( 3-^?—,3V T+6)，又因
B 2
tan—
2
为6=3，所以周长的取值范围为a+6+C e(i V^,3
V T+9).
通过上述分析与解答，我们不难发现该题虽属中档
题，每一个学生都是有思路的，但在解答的过程中却总是
遇到或这样或那样的解题挫折，从心理上给学生造成相
当大的压力，致使学生出现求之不得、弃之可惜的犹豫，
导致宝贵的作答时间白白浪费.本题命题者设置了较多的
“陷阱”，稍不留神，就会出现“会而不对，对而不全”的遗
薪资管理憾.另外，本题解题过程看似很新，实则还是利用了常规的
“正弦定理结合三角函数值域”的解题策略，只是方法和
以往解题常规略有差异导致考生解题时“困难重重
二、遇见真题，强化巩固
变式：（2019年全国卷nUZUBC的内角的对边
分别为a,6，c，已知o sin l^"=fesinA.
2
(1) 求 S;
(2) 若A/IBC为锐角三角形，且c=l，求厶/1BC面积的
取值范围.
分析：（1)已知边角等式asin^^=6Sin A.结合三角形
2
内角和定理得到sin土1^"=cos呈，进一步可求得s in Z■，最
222
终求出角5.(2)由（1)求得角S，结合三角形面积公式、正弦
定理，以及三角形内角和定理得到关于面积的表达式，从
66 4左焱1 •中学教师202 U、2
方法与策略
天台野战A X
B C为锐角三角形出发，可求得面积的范围.有前面的
解题实践，我们很快就可以将解题策略放在“正弦定理结
合三角函数求值域”这一路径上.
解答：⑵由（1)可知又因为c=l，所以S A,sc=
V T 4由正弦定理可知〇=
csin/1
sinC sinC2tanC
j.因为A薦为锐角三角形，所如
(+’2)，S导，苧
点评：在本题第(2)问的解答过程中，准确地用好正 弦定理是关键，其易错点是忽视“S C为锐角三角形”这 一题设条件，导致角4 ,C的取值偏大，从而影响最终结果.
三、反思
人教A版《数学》（必修五）第一章“解三角形”重点讲 了正弦定理及其变形、余弦定理及其变形和三角形面积 公式，而这些内容往往结合三角恒等变换成为高考的热 点，深受命题者青睐.近几年，这一题型的命题方式呈现考 点被细化、方法更灵活、解题“陷阱”更隐秘的特点.表面上 考生人手是容易的，但要做对、做全却并非易事.在平时的 教学中，无论是教师，还是学生都认为这道题往往是考卷 中解答题的第一题，其难度中档，是平时训练力度较大、解题方法较全的题型.在大多数学生心中这类题是志在必 得的题目，是后进生突破90分，中等生突破120分的关键 题型之一，也是考生愉悦地解决后续大题的心理基础，对 提升应考状态也至关重要.解决这类问题，定理的选择很 重要，有效的边角互化是解题的关键，方法一旦出错，便 容易在这个问题上绕弯，甚至出现“无法自拔”的解题投 人，最终是“求之不得，弃之不舍”的无奈.所以，教师在平 时讲解训练时，一定要注重对方法的总结，鼓励学生大胆 尝试，重视对一题多解和多题一解的强化.总之，所有解题 时的从容应对，都是平时解题方法的日积月累，静下心 来，用心投人，所有的问题都经不起琢磨.
解三角形中的面积与周长的相关问题其难度一般属 于中档题，解题关键是灵活应用正(余)弦定理及其
变形，有效地结合三角函数值域或基本不等式来到解题的突 破口，但在解题时需破除解题定式干扰，勇于尝试.一般情况是若已知当中给定的边是角的对边（或角是边的对 角），则选择“余弦定理结合基本不等式”或“正弦定理结 合三角函数值域”都可以解决问题；但如果题设条件中限 制三角形为锐角三角形（或钝角三角形）则宜选择“正弦 定理结合三角函数值域”来解决问题；若已知三角形的边 不是已知角的对边（或已知三角形的角不是已知边的对 角），则优先选择“正弦定理结合三角函数值域”来解决问 题.在使用正弦定理时，应规避三角形外接圆半径对解题 的影响，直接使用正弦定理解决问题即可.解题时，必须注 意三角形形状对解题结果的影响，注意角的取值范围.
从近几年高考题来看，命题者往往选择比较熟悉的 命题背景，在题目中布下隐秘的陷阱.如在求周长或面积 的范围时，考生往往比较熟悉最值，而命题者在考生熟悉 的解题题型上，稍加改进，就可能困住考生.譬如在已知条 件中限制三角形形状或所给的边与角并不对应等.这提醒 我们在平时的教学训练中，应有针对性地进行一题多解 和多题一解的训练.这样可有效地提髙学生V I别问题和解 决问题的效率，可有效增强学生的解题自信.
在教学中，教师强化学生的解后反思意识是非常有 必要的.引导学生写好解题反思有助于学生发现解题亮 点，关注解题过程中遇到的困难，优化解题过程和解题思 路.通过对解题过程的回顾与探讨、分析与研究，领悟解题 的主要思想，关键因素，掌握数学中的基本思想和通性通 法，并能灵活地应用其去解决不同的问题.
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