2017年9月计算机工程与设计 Sept. 2017第38 卷第9 期COMPUTER ENGINEERING AND DESIGN Vol. 38 No. 9
基于布谷鸟算法的平面选址问题
宋瑞敏s陈锂、王琦、孙俊杰、王冠雄2
(1.桂林电子科技大学商学院，广西桂林541004; 2.合肥工业大学管理学院，安徽合肥230009)
摘要：针对平面选址问题给出一种基于布谷鸟搜索算法的求解方法，具有平衡全局优化与局部搜索的优点。为验证该算 法的性能，分别运用在无约束与带约束的平面选址问题上，通过对典型平面选址问题的仿真实验，与其它智能搜索算法进 行比较，仿真结果表明，该算法可行有效，具有较高的搜索效率和求解精度。
关键词：平面选址；布谷鸟算法；莱维飞行；优化算法；约束处理
中图法分类号：TP301.6 文献标识号：A 文章编号：1000-7024 (2017) 09-2536-05
doi：10. 16208/j. issnl000-7024. 2017. 09. 043
Location problem based on cuckoo search algorithm
SO NG R ui-m in1 ?C H E N L i1?W A N G Q i1?S U N Jun-jie1 ?W A N G Guan-xiong2
(1. Business School, Guilin University of Electronic Technology, Guilin 541004, China；
2. School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)
Abstract：According to the principles of cuckoo intelligence, an optimization algorithm was presented to solve the location prob­lem, and this algorithm has the advantages which could balance the global search and local search. To verify the performance of the algorithm, it was used in unconstrained location problem and constrained location problem respectively. Results of simulated tests of the location problem and comparisons with other algorithms show that the algorithm is feasible and effective and has strong search ability and search efficiency.
Key words：location problem；cuckoo search algorithm；Levy fights；optimization algorithm；constraint handling
〇引言
选址问题在系统工程、现代物流、金融经济等领域中 有着广泛的应用背景。在许多工程设计管理中，所要解决 的问题本身就是一个选址问题，例如在某个区域设置一个 或多个中转站、仓库、医院、银
行、商店等，使得服务覆 盖当地居民并且距离恰当，运作良好；在某些电子系统的 设计计划中，需要在电路板或其它区域上选择合适恰当的 位置用以布置一个或多个连通的元件，使得系统运行效能 最佳。由于涉及到不同的优化目标以及约束条件组合，广 义上的选址问题是非常复杂的[1]。本文研究的是最常见的 一种平面选址问题，即所谓的极小极大选址问题。平面选 址问题一般描述如下：给定某个任意形状的区域以及该区 域上的n个位置点：y,)，（i=l,2，…，：《)，在该区域内（包括边界）寻某一位置点P U,X)，使得其与给定的点最大的距离尽可能最小。其形式可以是一下4种中 的一种：
(1) min2= min max； {[(：
(2)min2=min max; {x:―々十Ly—义};
(3)min2= min max； {zvt[(工一:^)2十（3?—v)2]1/2};
(4)m in z=min max； {zvt  2 —々十：V—M }。
本文研究的是基本欧式距离和绝对值距离平面选址问 题。早期针对平面选址问题，学者提出用精确算法求解，后来，由于实际问题的需要，学者开始研究选址点位于某 个凸区域（包括边界）之内或者之外的带约束的问题，以及各位置点带权重的赋权问题。平面选址问题被相关学者 证明为NP-Hard问题，随着问题规模的增大很难求得准确 的最优解，约束条件加人使得问题复杂化，规模的增大使
收稿日期：2016-07-15；修订日期：2016-09-19
作者简介：宋瑞敏（1964-)，女，山西长治人，教授，研究方向为投融资问题、投资与资本市场；陈锂（1990-)，男，广西玉林人，硕士 研究生，研究方向为物流规划、设计以及优化；王琦（1992 -)，男，河南商丘人，硕士研究生，研究方向为物流与供应链管理；孙俊杰（1993 -)，男，湖北黄闻人，硕士研究生，研究方向为工业工程；王冠雄（1990-)，男，安徽安庆人，博士研究生，研究方向为物 流与供应链管理。E-mail: chennnli@163
第38卷第9期宋瑞敏，陈锂，王琦，等：基于布谷鸟算法的平面选址问题•2537 •
得精确计算适用性不强，人们将目光投向智能搜索算法，并将智能搜索算法引用到该问题的求解上，遗传算法[2]、模拟退火算法[3]、模拟植物生长算法[4]、粒子算法[5]、蜂算法[6]、引力搜索算法[7]以及人工萤火虫优化算法[8]等，均求得接近最优的理想解。
1布谷鸟算法
1.1算法思想
布谷鸟搜索算法（cuckoo search算法，C S算法）是一 种由剑桥大学学者Y A N G Xinshe和DEBSuash模拟布谷鸟 的借巢孵卵行为提出来的智能搜索算法[9]，由于这种算 法操作简单、参数
少、易实现、寻优能力强，并成功应用 于工程优化等实际问题中[1°12]，逐渐成为当前智能搜索 算法的研究热点。
下面给出布谷鸟搜索算法的基本原理。布谷鸟搜索算 法是对布谷鸟的繁殖行为进行模拟而发展起来的智能搜 索算法。布谷鸟具有孵卵寄生性，本身并不会孵卵，这就 促使它不断寻质优的鸟巢，依靠养父母完成孵化育雏任 务。为了顺利让其它鸟类帮助孵化后代，布谷鸟将自己的 卵模仿成所选鸟类的卵的样子，而其它鸟类则具备一定的 辨别能力，使得它们有一定的概率发现鸟巢中的卵为外来 卵，一旦它们发现外来卵则直接拋弃整个鸟巢，重新一 个新的位置筑巢孵卵，总结其主要步骤如下：
步骤1设置种规模、分量个数、外来卵发现概率 叉、最大迭代次数等参数的值，定义目标函数/(X)，在搜 索空间中随机产生^个鸟巢的初始位置足G=l，2，…，n)；
步骤2计算每个鸟巢位置的目标函数值，将最优函数 值设置为X*的初值；
步骤3种中的每个鸟巢按照L€v y飞行进行位置调 整，得到一组新的鸟巢位置；
步骤4计算新组每个鸟巢位置的目标函数值，并与飞 行前的鸟巢的函数值进行比较，让较好的鸟巢位置替代较 差的鸟巢位置，得到一组较优的鸟巢位置；
步骤5位置更新之后，产生一个随机数ram/e[〇, 1]代表鸟巢主人发现布谷鸟的寄生卵的可能性，并与舍弃 因子叉进行对比，若叉，则在约定范围内随机生 成新的鸟巢，反之则不改变，得到一组新的鸟巢位置，将 这组鸟巢位置与步骤4中的鸟巢位置进行对比，保留较优 的鸟巢位置；
步骤6计算鸟巢位置的目标函数值，若最优值优于 X*，则更新X*值；
步骤7判断是否达到最大迭代次数，达到则结束算 法，输出全局最优目标函数值，否则转至步骤2进入到下 一迭代，重复步骤直至满足迭代停止条件。1. 2 L&y飞行
L€vy飞行是由法国数学家Paul Pierre L€vy提出来的一 种行动模式，属于随机行走的一种，其平稳增量服从L~y 稳定分布，在飞行的过程中，步长较小的短距离行走和非 规律间歇性较大步长的长距离行走互相交替，呈现出较小 的步长落脚点聚集被较长的步长分隔开的现象。如图1所 示，是L&y飞行的一种特殊情况。
图1从原点（0, 0)开始（标记为•），
进行50次L€vy飞行的轨迹
在布谷鸟搜索算法中，布谷鸟通过L&y飞行获取下一 目标点。将L&y飞行结合到CS算法中，较长的步长有利 于全局搜索优化，使得种保持良好的多样性，增加搜索 范围，较小的步长有利于局部搜索
优化，加快搜索的收敛 速度。在CS算法中表示第：个鸟巢在第t次迭代时的鸟巢 位置，〃是优化问题的维数。布谷鸟寻鸟巢的路径更新 公式可以表示为乂+1二乂+a①!^w(A)，其中a是步长因 子，大小根据优化问题的实际情况而定，L w j；a)表示服 从参数A6(1，3)的L€v y分布，a与进行点乘
得到鸟巢移动方向距离。在实现CS算法时Mantegna提出 了模拟L&y飞行跳跃路径的式子
I^y(A) =
L^3；(A)即为基本步长，跳跃路径式子满足以下条件：参数A=/?的取值范围为（〇，2)；参数；/、为正态
I ju〜N(0，
分布随机数，服从正态分布
、v〜N(0，任运杰
f=(r(l+/?)sin(^/2) )^
围为^%—&[(1十/?)/2] 。
—
1
如下：
Cuckoo Search
Initialize objective function /(x),
17/设置目标函数
Generate i n i t i a l population of n host nests •••，〃）//初始化种
while(?<MaxGeneration) or (stop criterion) do
;、心 取值范
a v)
综上算法的伪代码
x=( j〇i,…，x
d)
•2538•计算机工程与设计2017 年
Get a cuckoo randomly by L6vy f l i g h t s //依次进行随机飞行
Evaluate i t s quality/fitness _F,//计算目标函数值
if(Fi^Fj)then
replace j by the new solution;//比较位置更新前后的 目标函数值
end if
A fraction(p a)of worse nests are abandoned and new ones are built;//依概率拋弃鸟巢并随机产生
Keep the best solutions(or nests with quality solu­tions)；
Rank the solutions and find the current best
end while
陌生的恋人结局
Post process results and visualization
下面对上述算法进行时间复杂度的分析：布谷鸟搜索 算法属于智能搜索算法中的一种，其时间复杂度与迭代 次数以及种规模相关。给定一个平面选址问题，其鸟巢 个数也即是鸟巢个数为nest，迭代次数为generation。鸟巢 在进化过程中通过莱维分布函数进行方向距离随机的调整，进化时间显然与nest* generation成正比，在每一次迭代当 中，鸟巢需要进行寻优排序并依概率抛弃旧鸟巢，随机生 成新鸟巢，寻优排序所需时间与种规模呈正比，综上算 法的复杂度为〇(nest2 * generation)。该算法是一个多项 式时间算法，由于在鸟巢迭代进化过程中，每一代位置最 优的鸟巢被记录下来并与下一代进行比较，保持择优更新，所以随着迭代次数的增加，搜索最优值会产生收敛行为，向问题的最优解逐渐接近，而不会发生退化行为。
上述算法的实验环境为Intel®Core™ 13-2350M C P U 2.30&，内存4.0008，操作系统为界111(1〇1310，编程软件为 M A T L A B2014b。
2无约束平面选址仿真
为了说明算法的效果，运行布谷鸟算法求解平面选址 问题，并与当前求解该问题比较好的3种智能优化算法—人工蜂算法、萤火虫算法以及引力搜索算法进行对 比，进行求解精度、算法性能等方面的比较，其它3种算 法的结果以及数值参见文献[8]。上面3种算法中，萤火 虫算法对基本算法进行了改进，在迭代过程中加人了邻域 搜索，在邻域搜索中，当前解（z，y)邻域定义为x/=x~\~Icosd
=y~\~Isind
萤火虫算法在交叉换位更新位置后插人邻域搜索，搜 索半径z>0(取0.1), 0在[0, 2；r]之间随机生成，具体 算法以及参数设置参见文献[8]；引力搜索算法则在计算 加速度，更新速度和位置之后进行邻域搜索，搜索半径/>〇(取0.1), 0在[0, 2；r]之间随机生成，具体算法以及参数 设置参见文献[7]；人工蜂算法在搜索食物源过程中定义 了邻域搜索，搜索半径Z=30，具体算法以及参数设置参见 文献[6]。布谷鸟搜索算法中鸟巢位置更新根据莱维飞行, L6vy飞行方向与距离具有随机性，因此不适用该处的邻域搜 索，其步长因子设置为〇.〇1，这样能够以较大概率在半径 〇.〇1内搜索，以较小概率在半径〇.〇1以外进行搜索。
为了准确比较其性能，4种算法均采用相同的体规 模和最大迭代次数，数值综合各个算法的设置，体规模 设为50，最大迭代次数设为1000。其中具体测试算例见表1。
表1测试算例
算例 顶点个数 顶点坐标 1234
1    3 (0,0),(10,0),(5,10)
2    4 (0,0),(10,0),(0,10),(7,1)
3    6 (0,0),(5,3),(7,5),(10,3),(3,10),(0,6)
4 12 (一5,11)，（一10, 一5)，（8, 一4)，（5,5)，（0,0)，（1,5)，（一10, 一1)，（一5,7)，（一5,0)，（一10,4)，（3,6)，（2, 一9)
5 16(一9,8)，（一15, 一8)，（22,5)，（17,20)，（10，0)，（3,4)，（一5, 一9)，（一16, 一4)，（12，4)，(-10,7), (1,14), (-7,6), (-14,3), (12,24), (-1,1), (0,13)
仿真实验得到的具体求解结果见表2。
从表3结果可以看出，对于5个算例，不管是求解欧 式距离平面问题还是绝对值距离平面问题，C S算法均取得 了最好的结果。其中求解欧氏距离平面问题时，G S0算法 和C S算法求解算例5时结果一样，都优于G S A和A B C算 法；求解绝对值距离时，G S0算法和C S算法求解算例3、4和5时结果一样，都优于G S A和A B C算法。
由于该算法运行结果与萤火虫算法接近，均获得了最 优解，因此在时间上与萤火虫算法进行比较以说明其性能 与效率。每个算法运行10次，统计其平均时间，其花费时 间见表3。
从表3中运行结果可以看出，布谷鸟搜索算法的运行 时间比萤火虫算法减少了1s左右，主要原因在于萤火虫算 法插人了局部的邻域搜索，增加了搜索冗余，从而增加了
第38卷第9期
宋瑞敏，陈锂，王琦，等：基于布谷鸟算法的平面选址问题• 2539 •汪峰那些歌好听
表2
无约束条件各算法测试结果
绝对值距离
欧氏距离
算例 算法
最优值
P 点坐标最优值P 点坐标1
GSA 7. 50064(5. 00000,2.50006)  6.25042(5.00018,3. 74958)ABC 7. 50024(5.00002,2.49977)  6.25016(5.00012,3. 75006)GSO 7. 50003(4.99999,2. 50003)  6.25004(5.00005,3. 75000)CS
7. 50000(5.00000,2. 50000)  6.25000(5.00000,3. 75000)2
GSA 10.00001(0.07487,0.07486)7.07114(4.99644,4. 99634)ABC 10.00001(3.27710,3. 27711)7.07122(4.99407,4. 99385)GSO 10.00001(0.33265,0.33265)7.07107(4.99953,4. 99953)CS
朴有天确认结婚10.00000(0.43433,0.43433)7.07106(4.99999,4. 99999)3
GSA 7. 00003(3.16083,3.16086)  5.92918(4.19274,4.19239)ABC 7. 00020(3.44293,3.44291)  5.93047(4.19536,4.19160)GSO 7. 00000(3.08041,3.08041)  5.92885(4.19234,4.19228)CS
7. 00000(3.19547,3.19547)
5.92881(4.19230,4.19230)4
GSA 14.00000(-2. 99441,-0. 99441)10. 59861(-1. 30862,1. 06551)ABC 14.00003(-1. 59447,0. 40556)10. 59941(-1. 30761,1. 06452)GSO 14.00000(-2. 94933,-0. 94933)10. 59816(-1. 30925,1. 06545)CS
14.00000(-1. 85298,0. 14701)10. 59806(-1. 30918,1. 06537)5
GSA 30.00000(-0.49749,7. 49749)21. 26032(1.01487,5.98299)ABC 30.00001(2.47520,4. 52479)21.26147(1.08371,5. 90556)GSO 30.00000
(4. 91700,2.08300)21.26029(1.00318,5. 99636)CS
30.00000
(5.26283,1. 73716)
21.26029
(0.99999,6.00000)
空间以及可行域，引进约束域后，平面选址模型表述如下
minz  = min  max ,, {[(x  — x ,- )2 + (y  — y ,-)2]1/2}
或 min  max ,. { |
| 十 | y  — y ,. | } (1)S. t.
gi  (x ! ,x 2) ^ 0
(2)hj  Cxi  ?X2) — 0
(3)
其中，C n ，心）G S 表示决策变量，决策变量取值范围分 别为[4，片]和[4，对],z 为不等式约束个数，j 为等 式约束个数，式（1)为目标函数，式（2)和式（3)分别 表示不等式约束以及等式约束。等式约束（3)可以通过式(4)转化为不等式约束
h (.x -[ ,x 2 ) | — 5^ 0 (4)
其中，5为无穷接近0的正数。采用智能搜索算法求解带 约束问题时，关键在于约束条件的处理，本文采用罚函数 法处理企图违反约束条件的鸟巢位置，将原约束平面选址 问题转化为无约束平面选址。对于违反约束条件的鸟巢位 置，赋予一个很大的目标函数值，迫使无约束平面选址的 极大极小值点无限向可行域接近，多次迭代直至收敛于问 题的最优解。定义约束违反度函数为
g
K
工、=
^
m a x
{0,g j (.x-i  ,x 2)} +
表3
运行时间统计
算例CS
GSO
绝对值距离欧氏距离绝对值距离欧氏距离1  2.13921  2.21313  2. 98324  3.091322  2.10474  2.17565  3.01823  2.971233  2.07615  2.18055  3.12873  3.102874  2.11637  2.20475  3.00234  3.182345
2.11635
2.19773
3.10134
3.11639
运行时间。
布谷鸟算法中，种迭代鸟巢更新，得益于L 6v y 飞行 的特性，能够非规律性跳出局部搜索进行全局搜索，具有 较好的全局搜索能力同时兼顾精准的局部搜索。布谷鸟算 法在运行效率上得出了比较好的结果。
3约束平面选址仿真
为了进一步验证算法在该问题上的有效性与通用性,
引人一定的约束条件并与人工蜂算法和萤火虫算法的求 解结果进行对比。设集合S G i ?2表示平面选址问题的搜索
• 2540 •
宾馆led广告语计算机工程与设计
2017 年
D  max{0, | hj  (x i 7x 2) \ } (5)
J =Q +1
违反约束度函数的值为违反约束式的和，当z C S 时必
(■Z ) >0，当：时#(：c ) =0。对于约束平面选址问题，
目标函数设置为
min max, {[(x —X ,)2 + ^)2]1/2} +^(^)
或 min max;{ | ：c — | 十 | y —，| }十 #(：c)
(6)
其求解步骤与无约束平面选址的一样，下面进行对应 仿真测试，算例4和算例5的约束条件分别设置为
表4
带约束条件各算法测试结果
算例绝对值距离
欧氏距离
昇法
最优值
P 点坐标
最优值P 点坐标4
ABC 14. 000(-2. 523,-0. 523)10.601(-1. 295,1. 058)GSO 14. 000(-1. 755,0. 245)10.598(-1. 310,1. 065)CS
14. 000(-2. 342,-0. 342)10.598(-1. 309,1. 065)5
ABC 57. 006( — 30.016,10.011)52. 001(一30. 004,5.108)GSO 57. 000( — 30.000. 10.000)52. 000( — 30. 000,5.014)CS
57. 000
( — 30.000,10.000)
52. 000
( — 30. 000,5.000)
'4(：c — 5^y — 30) ^ y
2：c 十 3_y < 60
-：c 十 5_y  < 100
—9x ^r
240
-x
— 4_y < 150
-19x  — 24y  ^ 60<；
<；
x  — ^ ^ 30
—2x  — 3_y < 90
-30
—x ^r
150
7x 十 5_y < 270
~llx  — 5_y  < 270
由表4可知，G S O 算法和C S 算法对算例4和算例5的 求解结果一样，均优于A B C 算法。对于算例5, C S 算法优 于G S 0算法。
4结束语
基于布谷鸟搜索算法给出了一种求解平面选址问题的
优化方法，实验结果表明，本文算法运用在平面选址问题 上具有较高的性能，在求解精度、算法效率方面优于其它 算法，同目前优化效果最好的改进萤火虫算法对比，效率 高于改进萤火虫算法。综上本文所采用的C S 算法求解选址 问题具有如下优势：①C S 中的迭代更新采用L 6v y 飞行模 式，同时保持一定的概率淘汰劣质鸟巢，使得种能够保 持多样性，克服陷人局部最优；②C S 算法调节参数少，易 于编程，理论上只有步长因子需要根据实际情况进行适当 调节；③C S 算法兼顾保持较强的局部搜索能力，无需插人 邻域搜索，效率较高。将布谷鸟算法运用于该运筹学问题 具有很高的参考价值，未来研究将着眼于以下两点：将布 谷鸟算法运用于具有更复杂约束条件的平面选址问题中； 将改算法应用于多目标平面选址问题中。
参考文献：
[1] YANG Fengmei, HUA Guowei, DENG Meng, et al. Some
advances of the researches on location problems [J ]. Opera­tions Research and Management Science, 2005，14 (6) ： 1-7 (in C h in e se ).[杨丰梅，华国伟，邓猛，等.选址问题研究的 若干进展[J ].运筹与管理，2005, 14 (6): 1-7.]
[2] LUO Yaobo，SUN Yanming, LIU Xiaolong. Hybrid genetic
algorithm for capacitated location-routing problem [J], Appli­
cation Research 〇£ Computers, 2013，30 (8) ： 2283-2287 (in  C h in e s e ).[罗耀波，孙延明，刘小龙.多约束选址路径问 题的改进混合遗传算法研究[J ].计算机应用研究，2013, 30 (8)： 2283-2287.]
[3] QIN Jin, SHI Feng. Bi-level simulated annealing algorithm for
facility location [J ], Systems Engineering, 2007，25 (2): 36-40 (in C h in e se ).[秦进，史峰.物流设施选址问题的双层 模拟退火算法[J ].系统工程，2007, 25 (2): 36-40.][4] LI Tong, WANG Zhongtuo. Application of plant growth simu­
lation algorithm on solving facility location problem [J]. Sys­tems Engineering-Theory
Practice, 2008，28 (12): 107­
115 (in C h in e se ).[李彤，王众托.模拟植物生长算法在设施 选址问题中的应用[J ].系统工程理论与实践，2008，28 (12)： 107-115.]
[5] LIU Feng, WANG Jianfang, LI Jinlai. Novel particle swarm
optimization algorithm and its application in solving min-max lo­cation problem [J]. Computer Engineering and Applications, 2011, 47 (14)： 56-58 (in C h in e s e ).[刘峰，王建芳，李金 莱.改进型粒子算法及其在选址问题中的应用[J ].计算机 工程与应用，2011，47 (14): 56-58.]
[6] FAN Xiaomao, MA Liang. Bee colony algorithm for constrai­
ned location problem [J], University of Shanghai for Science  and Technology, 2010, 32 (4)： 378-380 (in Chinese ).[樊 小毛，马良.约束平面选址问题的蜂优化算法[J ].上海理 工大学学报，2010，32 (4): 378-380.]
(下转封三）
[4] XIAO Runhua, WANG Chunfeng. Research on the evaluation
system of vocational college students?professional accomplish­ment [J]. Vocational Technical Education Forum, 2013,
29 (17): 56-58 (in C h in e se).[肖润花，王春凤.高职院校学
生职业素养评价体系探究[J].职教论坛，2013, 29 (17): 56-58.]
[5] ZHANG Xiangyun, HU Zhenyu. Quantitative evaluation
method of vocational college students?professional quality [J].
Vocational and Technical Education, 2012，31 (2) ：56-58 (in
C h in e se).[张翔云，胡振宇.高职学生职业素养的量化评价
方法[J].职业技术教育，2012, 31 (2): 56-58.]
[6] SONGWeijun, CHEN Song, YANGFengfan, et al. Applica­
tion of the fuzzy comprehensive evaluation method in the con­struction of the evaluation index system of the professional qua­lity of higher vocational college teachers [J], Education Tea­ching Forum, 2016, 8 (10)：280-281 (in Chinese).[宋维 君，陈松，仰枫帆，等.模糊综合评判法在构建高职教师职业 素养评价指标体系中的应用[J].教育教学论坛，2016，8
(10)：280-281.]
[7] SHI Ruibing, YAO Xingtai, SHI Shengbing, et al. Effective­
ness evaluation of communication system based on AHP [J], Computer Engineering and Design, 2013，34 (12) ：4131-4136 (in C h in e se).[史眷冰，姚兴太，史圣兵，等.基于层次分析法的通信系统效能评估[J].计算机工程与设计，2013, 34
(12)：4131-4136.]
[8] FENG Yarding, Discussion on the cultivation of professional ac­
complishment of software professionals [J], Mechanical Voca­tional Education, 2014，35 (1): 50-52 (in Chinese). [冯艳 玲.软件从业人员职业素养培养的探讨[J].机械职业教育，2014, 35 (1)：50-52.]
[9]LIU Weitao, GU Hong, LI Chunhong. Expert evaluation
method based on Delphi method [J], Computer Engineering, 2011, 37 (S I)：189-191 (in C h in e s e).[刘伟涛，顾鸿，李 春洪.基于德尔菲法的专家评估方法[J].计算机工程，2011, 37 (S1)：189-191.]
[10] JIANG Fan. Study on inconsistency of fuzzy analytic hierarchy
process [D]. Beijing：North China Electric Power Universi-
ty，2015: 1_69 (in C h in e se).[姜帆.模糊层次分析法不一 致性问题研究[D].北京：华北电力大学，2015: 1_69.] [11] JIANG Delong, YIN Shuping, SHI Li, et al. Application 〇£
fuzzy synthetic decision on comprehensive quality evaluation of
postgraduate [J], Computer Engineering and Design, 2011，
32 (9)：3208-3212 (in C h in e s e).[蒋德珑，尹淑萍，师黎，
等.基于模糊综合评判的研究生综合素质评价研究[J].计 算机工程与设计，2011，32 (9): 3208-3212.]
[12] HUANG Yongfang, WANG Huijin, XIANG Hongjun, et
al. Optimization analysis of passive electromagnetic armor
plate spacing based on dispersion method [J]. Journal of Na­
val Aeronautical and Astronautical University, 2015，30
(3): 263-268 (in C h in e se).[黄咏芳，王慧锦，向红军，等.
基于离差的被动电磁装甲板间距优化分析[J].海军航空工 程学院学报，2015, 30 (3): 263-268.]
(上接第2540页）
[7] LIU Yong, MA Liang. Gravitational search algorithm for loca­
tion problem [J]. University of Shanghai for Science and Tech­nology, 2012, 48 (27)：42-44 (in C h in e s e).[刘勇，马良.
平面选址问题的引力搜索算法求解[J].计算机工程与应用，2012, 48 (27)：42-44.]
[8] CHENG Kui, MA Liang. Artificial glowworm swarm optimi­
zation algorithm for location problem [J]. University of Shang­hai for Science and Technology, 2013，35 (3) ：205-208 (in
C h in e s e).[程魁，马良.平面选址问题的萤火虫算法[J].
上海理工大学学报，2013, 35 (3): 205-208.]
[9] Yang Xinshe, Deb S, Cuckoo search via levy flights [C] //
World Congress on Nature Biologically Inspired Computing.
IEEE, 2010：210-214.
[10] Yang XS，Deb S, Engineering optimization by cuckoo search
[J], International Journal of Mathematical Modeling Nu­
merical Optimization, 2010，  1 ⑷：330-343.
[11] Long Wen, Zang Wenzhuan, Huang Yafei. A hybrid cuckoo陈好老公
search algorithm with feasibility-based rule for constrained structural optimization [J], Journal of Central South Univer­sity, 2014, 21 (8)：3197-3204.
[12] CHEN Le, LONG Wen. Modified cuckoo search algorithm
for solving engineering structural optimization problem [J], Application Research 〇£Computers, 2014，31 (3) ：679-683 (in C h in e s e).[陈乐，龙文.求解工程结构优化问题的改进布谷鸟搜索算法[J].计算机应用研究，2014，31 (3): 679-683.]
[13] Mantegna RN. Fast, accurate algorithm for numerical simula­
tion of Levy stable stochastic processes [J], Physical Review
E Statistical Physics Plasmas Fluids Related Interdisciplina­
ry Topics, 1994, 49 (5)：4677-4683.