历年考研数学一真题1987-2019
1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)当x =_____________时，函数2x y x =⋅取得极小值.
(2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是
_____________.
1x =
(3)与两直线 1y t =-+
2z t =+
及121111
x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________.
(4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)L xy y dx x x dy -+-⎰= _____________.
(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基
底下的坐标是_____________.
二、(本题满分8分)
求正的常数a 与,b 使等式2001lim 1sin x x bx x →=-⎰成立.
乔迁新居贺词三、(本题满分7分)
(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x我们的歌 歌词
∂∂∂∂ (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A 求矩阵.B
四、(本题满分8分)
求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解，其中常数0.a >
五、选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分.每小题给出的四个选项中，只有一
个符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设2()()lim 1,()
x a f x f a x a →-=--则在x a =处 (A)()f x 的导数存在，且()0f a '≠    (B)()f x 取得极大值
(C)()f x 取得极小值        (D)()f x 的导数不存在
(2)设()f x 为已知连续函数0,(),s
qq网名女生t
I t f tx dx =⎰其中0,0,t s >>则I 的值
得的组词
(A)依赖于s 和t        (B)依赖于s 、t 和x
(C)依赖于t 、x ，不依赖于s      (D)依赖于s ，不依赖于t
(3)设常数0,k >则级数21(1)n n k n n
∞=+
-∑ (A)发散            (B)绝对收敛
(C)条件收敛        (D)散敛性与k 的取值有关
(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*
A 是A 的伴随矩阵，则*||A 等于 (A)a          (B)1a
(C)1n a -          (D)n
a
六、（本题满分10分） 求幂级数1112n n n x n ∞
-=∑
的收敛域，并求其和函数.
七、（本题满分10分）
求曲面积分
2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰
其中∑
是由曲线13()0z y f x x ⎧=≤≤⎪=⎨
=⎪⎩
绕y 轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2π  八、（本题满分10分）
设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微，对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内，且()f x '≠1，证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x =
九、（本题满分8分）
问,a b 为何值时，现线性方程组
天蝎座的性格123423423412340
221
(3)2321x x x x x x x x a x x b
x x x ax +++=++=-+--=+++=-
有唯一解，无解，有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
十、填空题(本题共3小题，每小题2分，满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设在一次实验中，事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为____________；而事件A 至多发生一次的概率为____________.
(2)有两个箱子，第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1
个球放到
第2个箱子里，再从第2个箱子中取出1个球，此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.
(3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),x x f x
-+-=
则X 的数学期望为____________,X 的方差为____________.
十一、（本题满分6分）
第27届金曲奖
设随机变量,X Y 相互独立，其概率密度函数分别为
()X f x =  10 01x ≤≤其它,()Y f y = e 0y - 00y y >≤,  求2Z X Y =+的概率密度函数.