《动态最优化基础》第3章 课后习题
3.2.1（P88）对于泛函V [y ]=∫(t 2+y′2)dt T
殷悦老公0，欧拉方程的通解是y ∗(t )=c 1t +c 2（参见联系2.2中问题1）
（b ）画出一个图形来显示初始点、终结点和极值线。 解：由F =t 2+y′2可知，F y′=2y′。
根据垂直终结线的横截条件可知[F y′]t=T =0，即y ′=0。
又由于y 沿着极值曲线y ∗(t )=c 1t +c 2取值，故有y ∗′(t =2)=c 1=0。 根据初始条件y (0)=4可得y ∗(t =0)=c 2=4。 故极值曲线为：y ∗(t )=4。
图形中显示初始点、终结点和极值曲线如下：
y
t
蔡琳高梓淇t=2A
3.2.3（P88）令问题1中的终结条件改变为y T =5，T 是自由的 （a ）出新的极值线。最优终结时间T ∗是多少？ （b ）画出一个图形来显示初始点、终结点和极值线。 解：根据水平终结线的横截条件可知[F −y′F y′]t=T =0，
即T2+y′2−y′∗2y′=0。
亦即y∗′(t=T)=c1=T。
根据初始条件y(0)=4可得y∗(t=0)=c2=4。
又由终结条件y T=5可得y T=c1T+c2=T2+c2=5，解得T∗=1。故极值曲线为：y∗(t)=t+4。
图形中显示初始点、终结点和极值曲线如下：
y
A=4
t
T*=1
《动态最优化基础》第4章 课后习题
4.2.1（P110）对于练习2.2的问题1（V [y ]=∫(t 2+y ′2
黄日华谈不孝无愧)dt T
什么时候考研0，y (0)=0，y (1)=2）
（a ）用行列式检验（4.9）检查函数F 是否关于(y,y ′)是严格凹/凸的。 （b ）如果此检验失败，利用行列式检验（4.12）或特征根检验来检查凹性/凸性。
（c ）最大化/最小化的充分条件满足吗？ 解：（a ）由被积函数F =t 2+y ′2
可得：
F y =0，F y′=2y ′，F y ′y ′=2，F yy =F yy′=F y′y =0
故行列式|D |=|
2
00
0|，|D 1|
=2，|D 2|=0。 不能判定F 是否关于(y,y ′)是严格凹/凸的。 （b ）特征方程为： |
2−r 0
−r
|=r (r −2)=0 特征根为：r 1=2和r 2=0。两个特征根均为非负的，所以q 是处处半正定的，即F 是凸的。
（c ）根据欧拉定理和边界条件可得到极值曲线y ∗(t )=2t 。 又因为被积函数F 是凸函数，所以满足最小化的充分条件。 4.2.3（P110）对于练习2.2的问题5进行上面问题1提到的检验。 解：（a ）由被积函数F =y 2+4yy′+4y ′2
可得：
F y =2y +4y′，F y′=4y +8y ′，F y ′y ′=8，F yy =2，F yy′=F y′y =4 故行列式|D |=|
8
44
2|，|D 1|
=8，|D 2|=0。 不能判定F 是否关于(y,y ′)是严格凹/凸的。 （b ）特征方程为： |
8−r 4
4
2−r
|=(r −8)(r −2)−16=0
特征根为：r1=10和r2=0。两个特征根均为非负的，所以q是处处半正定的，即F是凸的。
（c）根据欧拉定理和边界条件可得到极值曲线y∗(t)=e(1+t)/2+e(1−t)/2。
又因为被积函数F是凸函数，所以满足最小化的充分条件。
《动态最优化基础》第6章 课后习题
6.1.3（P175）求出V =∫y′2dt T
0满足∫ydt T
0=k 的极值曲线（通解）。 解：此题为满足积分约束的等周问题，拉格朗日被积函数为：
ℱ=y′2−λy （λ为常数）
利用公式（2.21）把欧拉-拉格朗日方程写成已部分求解的形式，即
ℱ−y ′ℱy ′=m （m 为任意常数）
且有ℱy ′=2y′。故可得y′2+λy =m 。
y ′
=√m −λy =dy
dt
对dt =
两边积分可得：
t +c 1=−2
λ
√m −λy +c 2
将两边的常数项合并，可得：
林更新在线收赵又廷丑照t −c =−2
λ
√m −λy
对上式两边平方，解得：
y =−λ4t 2+cλ2t +(m λ−λc 2
4
蒋中一)
由于一次项系数和零次项系数都为任意常数，代之以C 1，C 1可得
y =−λ4
t 2
+C 1t +C 1
6.1.4（P175）求出给出泛函∫(y′2+z′2)dt T
0满足y −z′=0的极值曲线y(t)和z(t)路径（通解）。
解：此题满足微分方程约束，拉格朗日被积函数为：
ℱ=y′2+z′2+λ(z ′−y)（λ为常数）
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