模拟试卷二
1. 证明若X 是有限的，则任何理性偏好关系都生成一个非空的选择规则；也就是说，对于任意,,()B X B C B ⊂≠Φ≠Φ且有。
经济学研究生
2. 考虑一个3L =的经济环境，以及消费集为3 的一个消费者。假定其需求函数
(,)x p w 为
2
13(,)p x p w p =
1
23(,)p x p w p =
33
(,)w x p w p =
（a ） 证明(,)x p w 在(,)p w 上是零次齐次的，并且满足瓦尔拉定律。 （b ） 证明(,)x p w 违反弱公理。
（c ） 证明对于所有3v ∈ ，有(,)0v S p w v =i 。
3.假定在一个两种商品的世界里，消费者的效用函数为1/1122()[]u x x x ρρρ
αα=+。
这一效用函数叫作常替代弹性（CES ）效用函数。
(a)证明当1ρ=时，无差异曲线是线性的。
(b)证明当0ρ→时，这一效用函数代表的是和（广义）科布一道格拉斯效用
函数12()u x x x ρρ
=一样的偏好。
(c)证明当ρ→−∞时，无差异曲线是一个“直角”；也就是说，该效用函数在极限处具有里昂惕夫效用函数1212(,)min{,}u x x x x =的无差异图。
4. 推导单一产出技术的利润函数()p π和供给函数（或对应）()y p 。该技术的生产函数为
1/2(a)()()(()),1
f z f z f z z z ρρρ
ρ==+≤1(b)c)=其中
5.证明：一个有着凸生产和消费集以及凹效用函数的经济，其效用可能性集U 是凸的。
6.假定偏好关系i ≥是局部非饱和的，而且*x 是集合{:}i i i i x X p x W ∈≤i 中对i ≥而言的最大值。证明下面的性质成立：“如果*i i i x x ≥，那么i i p x W ≥i 。”