考试科目：高等代数
科目代码：817
考试时间：
月
日
（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）
———————————————————————————————
(一)计算行列式:a
c c
c
b a
c c
b b a c
b b b a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(二)把二次型414332214321),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=用非退化线性替换化成平方
和.
(三)B A ，分别为m n ⨯和m n ⨯矩阵,n I 表示n n ⨯单位矩阵.证明:m n ⨯阶矩阵
0n A I X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭
可逆当且仅当BA 可逆，可逆时求出X 的逆.
(四)设12,n e e e ⋅⋅⋅是n 维线性空间n V 的一组基，对任意n 个向量12,n a a a ⋅⋅⋅n V ∈，证明：
存在唯一的线性变换A ，使得(),1,2i i A e a i n
==⋅⋅(五)设A 是n 维线性空间V 的线性变换，求证：1
(0)V AV A -=⊕当且仅当若12,r
a a a ⋅⋅⋅为AV 的一组基则12,r Aa Aa Aa ⋅⋅⋅是2
()A V 的一组基.(六)设A 为2级实方阵，适合2
1001A -⎛⎫=
⎪-⎝⎭，求证：A 相似于0110-⎛⎫
⎪⎝⎭
.
(七)已知,f g 均为线性空间V 上线性变换，满足2
2,f f g g ==试证：
（1）f 与g 有相同的值域⇔,fg g gf f ==.（2）f 与g 有相同的核⇔,fg f gf g ==.
考试科目：高等代数
科目代码：817
考试时间：
月
日
（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）
———————————————————————————————
（一）计算行列式：231
21
21
2
3n n n x a a a a x a a a a x a a a a x
（二）设A 为3阶非零方阵，且2
0A =.
（1）求证：存在123,,a a a ，123,,b b b ，()121233a A a b b b a ⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
（2）求方程组0AX =的基础解系.
（三）用正交的线性替换化二次行2
2
2
1231231323(,,)3244f x x x x x x x x x x =++--为标准形（四）设A 为n m ⨯阶实矩阵，且()()r A m n m =≥.若'2
'
()AA aAA =，求证'
m AA aE =.（五）设A 是n （n 为奇数）维线性空间V 上线性变换，若10,0n n A
A -≠=求证：存在
a V ∈，使2211,,,,n n n a Aa Aa A a A a A a A a a ---++++ 为V 的一组基，并求A 在此组
基下的矩阵.
（六）设A 是欧式空间V 上的对称变换.求证：对任意0a ≠，都有()0,0a Aa a ≠<⇔A 的所有特征值都小于0.
（七）设A a B a β-⎛⎫= ⎪⎝⎭
，其中A 为n 阶负定矩阵，a 为n 维列实向量，β为实数.求证B
正定的充分必要条件为'1
0a A a β-+>.
（八）若A 是正交阵，且A -特征值为1的重数是S ，求证：(1)s
A =-（A 为A 的行列式）.
考试科目：高等代数
科目代码：817
考试时间：
月
日
（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）
———————————————————————————————
（一）计算行列式：若1232n
x a a a a
x a
a
A B a
a x a a
a
a
x ==
，求A B A B A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
（二）设A 是n 阶可逆方阵，0A A B A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
（1）计算k
B （K 是整数），
（2）假设100
11
0111A =，C 为6阶方阵，而且2BC C E =+，求C .
（三）设(1)(1)(1)(1)p p p n p p
p n p
p A p n p p p n p
p
p
p
--------=
--------
，A 是n 阶矩阵（0p ≠），
求0AX =的基础解系.
（四）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为1，1，-1.并且对应的特征值有特征向量(1,1,1)，(2,2,1).
（五）设向量组A ：123,,n a a a a ⋅⋅的秩为r （r n <），则A 中任意r 个向量线性无关的充分必要条件为：对任意向量121,,r i i i a a a + ，若1211210r i i r i k a k a k a ++++= ，则121,r k k k + 或全为0或全不为0.
（六）设A 为n 阶正定矩阵，n m B ⨯为秩为m 的实矩阵，求证'
B AB tE +（0t >，E 为单位矩阵）为正定矩阵.
（七）设A 为欧式空间V 上的线性变换，且2
A E =.
（1）求证：A 是V 上的正交变换的充分必要条件为A 是V 上的对称变换.（2）设{}
1,V a a V Aa a =∈=，求证：12V V V =+是直和.
（八）设A 为n 阶实正交矩阵，123,,n a a a a ⋅⋅为n 维列向量，且线性无关，若
12,n A Ea A Ea A Ea +++ 线性无关，则1A =.
天津工业大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
科目代码：817
考试时间：
月
日
（注：特别提醒所有答案一律写在答题纸上，直接写在试题或草稿纸上的无效！）
———————————————————————————————
（一）计算行列式：x a a a a x a a A a a x a a
a
a
考研各科考试时间x
=
（A 为n 阶矩阵），2A A B A A ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
（1）求A
（2）求B
（二）设A 为21n k =+阶反对称矩阵，求A .
（三）设,A B 为n 阶整数方阵（,A B 中元素为整数），若AB E A =-（1）求证：1A =±，
（2）若200120232B -⎛⎫
⎪
=- ⎪ ⎪-⎝⎭
，求A .
（四）设12(,)n A a a a = 为n 阶方阵，()1r A n =-，且121
n n a a a a -=++ 121n n a a a a β-=+++ ，求AX β=的解.
（五）设A 是n 阶可逆方阵，且A 每行元素之和为a ，求证：k
A -的每行元素之和为k
a -（k 为正整数）
（六）设A 为n 阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵G 使1
r
s E G AG E -⎛⎫=
⎪-⎝
⎭
.（七）设2
A A =，且A 为n 阶方阵，()R A r =.（1）求证：2r
E A +=（2）求证：()()R A R A E n +-=（3）若1r =，求0
AX =的解.
（八）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为2，1，1，且有特征向量(1,1,1).（九）设二次型
2222
1234121314232434
()222222f X x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++---
发布评论