2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2014年广东，理1，5分】已知集合，，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
广东2014高考【答案】B
【解析】，故选B．
（2）【2014年广东，理2，5分】已知复数满足，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】，故选A．
（3）【2014年广东，理3，5分】若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为和，则（ ）
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
【答案】C
【解析】画出可行域，易知在点与处目标函数分别取得最大值，与最小值，，故选C．
（4）【2014年广东，理4，5分】若实数满足，则曲线与曲线的（ ）
（A）离心率相等 （B）虚半轴长相等 （C）实半轴长相等 （D）焦距相等
【答案】D
【解析】，，，从而两曲线均为双曲线，又，两双曲线的焦距相等，故选D．
（5）【2014年广东，理5，5分】已知向量，则下列向量中与成夹角的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】，即这两向量的夹角余弦值为，从而夹角为，故选A．
（6）【2014年广东，理6，5分】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）
（A）200,20 （B）100,20 （C）200,10 （D）100,10
【答案】A
【解析】样本容量为，抽取的高中生近视人数为：，故选A．
（7）【2014年广东，理7，5分】若空间中四条两两不同的直线，满足，，则下列结论一定正确的是（ ）
（A） （B） （C）既不垂直也不平行 （D）的位置关系不确定
【答案】D
【解析】平面中的四条直线，，空间中的四条直线，位置关系不确定，故选D．
（8）【2014年广东，理8，5分】设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为（ ）
（A）60 （B）90 （C）120 （D）130
【答案】D
【解析】可取，和为1的元素个数为：；和为2的元素个数为：；和为3的元素个数为：，故满足条件的元素总的个数为，故选D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9~13）
（9）【2014年广东，理9，5分】不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】数轴上到1与距离之和为5的数为和2，故该不等式的解集为：．
【答案】
【解析】，，所求切线方程为，即．
（11）【2014年广东，理11】，5分从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ．
【答案】
【解析】要使6为取出的7个数中的中位数，则取出的数中必有3个不大于6，另外3个不小于6，故所求概率为．
（12）【2014年广东，理12，5分】在中，角所对应的边分别为，已知，
则 ．
【答案】2
【解析】解法一：由射影定理知，从而，．
解法二：由上弦定理得：，即，，即，．
解法三：由余弦定理得：，即，，即．
（13）【2014年广东，理13，5分】若等比数列的各项均为正数,且,则 ．
【答案】50
【解析】，，设，则，
，．
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
（14）【2014年广东，理14，5分】（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线和的方程分别为和，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线和的交点的直角坐标为 ．
【答案】
【解析】即，故其直角坐标方程为：，的直角坐标系方程为：，与的交点的直角坐标为．
（15）【2014年广东，理15，5分】（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则 ．
【答案】9
【解析】显然，．
三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）【2014年广东，理16，12分】已知函数，且．
（1）求的值；
（2）若，，求．
解：（1），．
（2）由（1）得：，
，
，，，
．
（17）【2014年广东，理17，12分】随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：
30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36．
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
分组 | 频数 | 频率 |
3 | 0.12 | |
5 | 0.20 | |
8 | 0.32 | |
（1）确定样本频率分布表中和的值；
（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间的概率．
解：（1），，，．
（2）频率分布直方图如下所示：
（3）根据频率分布直方图，可得工人们日加工零件数落在区间的概率为，设日加工零件数落在区
间的人数为随机变量，则，故4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间
的概率为：．
（18）【2014年广东，理18，14分】如图4，四边形 为正方形，平面，，于点，，交于点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
解：（1）平面，，平面平面，平面平面，
平面，，平面，平面，，又
，，平面，，平面．
（2）解法一：
过作交于，平面，平面，过作于，连
则为二面角的平面角，设，，，从而，
，，，即，，还易求得，，从而
，易得，，，，
故，．
解法二：分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设，则，，
，设，则，，可得，从而，易得
，取面的一个法向量为，设面的一个法向量为，
利用，且，得可以是，从而二面角的余弦值为．
（19）【2014年广东，理19，14分】设数列的前和为,满足，且．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式．
解：（1）
，
联立解得，，综上，，．
（2） 当时，
并整理得：，由（1）猜想，以下用数学归纳法证明：
（ⅰ）由（1）知，当时，，猜想成立；
（ⅱ）假设当时，猜想成立，即，则当时，
，
这就是说时，猜想也成立，从而对一切，．
（20）【2014年广东，理20，14分】已知椭圆的一个焦点为，离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程．
解：（1），，，，椭圆的标准方程为：．
（2）若一切线垂直轴，则另一切线垂直于轴，则这样的点共4个，它们的坐标分别为，．
若两切线不垂直与坐标轴，设切线方程为，即，将之代入椭圆方程
中并整理得：，依题意，，
即，即，
，两切线相互垂直，，即，，
显然，这四点也满足以上方程，点的轨迹方程为．
（21）【2014年广东，理21，14分】设函数，其中．
（1）求函数的定义域（用区间表示）；
（2）讨论在区间上的单调性；
（3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）．
解：（1），则 或
由得：，，
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