广东省中山一中2014届高三高考热身
文科数学试题
本试题从整体看，既注重了对基础知识的重点考查，也注重了对能力的考查。从考生的反映看，试题难度适中，最后两道大题考查深入，有较好的梯度和区分度；坚持重点内容重点考，考潜能，考数学应用，在“知识的交汇处命题”有新的突破，反映了新课程的理念，试卷注重对常规数学思想方法以及通性、通法的考查，注重认识能力的考查，注重创新意识，稳中求新，新中求活，活中凸显能力。注重综合性、应用性、探索性、开放性等能力型题目的考查，充分体现了能力立意，在考查学生数学基础知识、数学思想和方法的基础上，以逻辑思维能力为核心，同时考查了学生的学习能力、运算能力、空间想像能力、应用能力、探究能力、分析和解决问题的能力和创新能力，同时加强对思维品质的考查。试卷在考查基础知识的同时，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查。
2014．5 本试卷共4页，21小题， 满分150分. 考试用时120分钟.
参考公式： 锥体的体积公式是13
V Sh =, 其中S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数()1(R)z a a i a =++∈是纯虚数，则2z 的值为（      ）
A ．0
B ．1-
C ．i
D ． i -
【知识点】复数是纯虚数的条件，复数的乘法运算。
【答案解析】B  解析 ：解：因为复数()1(R)z a a i a =++∈是纯虚数，所以010a a =⎧⎨+≠⎩
所以z i =，所以21z =-，所以选B 。
【思路点拨】根据复数是纯虚数的条件，求得a=0，从而z i =，所以21z =-。
2. 已知全集R U =，2{20}A x x x =--<，}0{≥=x x B ，则=B A  （      ）
A ．}20{<≤x x
B ．}0{≥x x
C ．}1{-≤x x
D ．}1{->x x
【知识点】一元二次不等式的解法，集合运算。
【答案解析】D 解析 ：解：易得{}|12A x x =-<<，所以=B A  }1{->x x ， 所以选D
【思路点拨】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再求得=B A  }1{->x x
3. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生
参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的
广东2014高考
茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是86，
乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为（      ）
A. 9
B. 10
C. 11
D. 13
【知识点】平均数、中位数的意义。
【答案解析】D 解析 ：解：由平均数的定义求得x=8，由中位数的定义求得y=5，所以x+y=13.所以选D.
【思路点拨】根据平均数的定义、中位数的定义分别求得x 、y 的值。
4．在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率是（      ）
A ．π16
B ．π8
C ．π4
D ．π2
【知识点】几何概型的概率求法。
【答案解析】B 解析 ：解：此等腰直角三角形的面积为2，而这个三角形中到直角顶点距离不大于1的点构成的图形面积为4π，所以所求概率为8
π。所以选B. 【思路点拨】先求等腰直角三角形的面积，再求这个三角形中到直角顶点距离不大于1的点构成的图形面积，然后利用几何概型的概率公式求所求概率。
5．“0m <”是“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”的（      ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件的意义。
【答案解析】A 解析 ：解：因为：“若0m <；则函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”是真命题；而“若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点则0m <”是假命题。所以选A 。
【思路点拨】：先判断命题“若0m <；则函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”；与命题“若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点则0m <”的真假，再确定选项。
6. 已知变量x 、y ，满足条件10290x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩
，则目标函数z =x +y 的最大值是（      ）
A. 2
B. 5
C. 6
D. 7
【知识点】线性规划问题。
【答案解析】C 解析 ：解：画出可行域，可以确定直线0290x y x y -=+-=与的交点A 的坐标（3，3）是最优解，所以目标函数z =x +y 的最大值是6.所以选C.
【思路点拨】先画出现行约束条件下的可行域，可以确定直线0290x y x y -=+-=与的
交点A 的坐标（3，3）是最优解，所以目标函数z =x +y 的最大值是6.
7. 设l ，m 是两条不同直线，α, β是两个不同平面，则下列命题中正确的是（      ）
A. 若//l α，α∩β＝m ，则l //m
B. 若l ⊥α，l //β，则α⊥β
C. 若l //α，m //α，则l // m
D. 若l //
α，m ⊥l ，则m ⊥α
【知识点】线面位置关系的判定与性质。 【答案解析】B 解析 ：解：对于选项A  ：l m 与可能平行也可能异面；对于选项B ： ,l l l ββ'∴内存在直线，l l αααβ'⊥∴⊥∴⊥，所以选B 。
【思路点拨】根据线面位置关系的判定与性质，逐项分析各个命题的正误。
8．在∆ABC 中，2AE EB =, =2BC BD ，则DE =（      ） A. 1132AB BC --        B ． 1132
AB BC -        C ．1123AB BC -          D ． 1132AB BC -+  【知识点】共线向量的意义，向量的加法、减法运算。
【答案解析】A 解析 ：解：11112323
DE DB BE BC BA BC AB =+=-+=--所以选A 。 【思路点拨】根据已知条件画出图形，结合已知条件求得向量DE 。
9. 己知双曲线222
21(0,0)x y a b a b
-=>>离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则b a
的值为（      ）
A.
B.
C.
D. 【知识点】双曲线离心率的意义、双曲线中a 、b 、c 的关系。抛物线的交点坐标。
【答案解析】D 解析 ：解：根据题意得：21
c a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a= 12，从
而b ===，所以b a
D 。 【思路点拨】根据双曲线离心率的意义、双曲线中a 、b 、c 的关系。抛物线的交点坐标等，求得a 、b 值。
10．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数记为()f x '，若对于任意实数x ，有
()()f x f x '>，且()1y f x =-为奇函数，则不等式()x f x e <；的解集为（      ）
A ．(,0)-∞
B ．(0,)+∞
C ．4(,)e -∞
D ．4(,)e +∞
【知识点】导数法确定函数的单调性，构造新函数，奇函数的性质，解不等式等。
【答案解析】B 解析 ：解：因为()1y f x =-为奇函数，且定义域R ，所以
()()001,01f f =-∴=，设()()()()()()x x x
e f x f x f x h x h x e e '-'==则，因为 ()()f x f x '>，所以函数()h x 是R 上的减函数，∴不等式()x f x e <；为
()()001x f x f e e <=。 所以0x >。所以选B 。
【思路点拨】根据()1y f x =-为奇函数，且定义域R 这些条件，求得()01f =
在构造函数()()()()()()x x
x e f x f x f x h x h x e e '-'==则，因为()()f x f x '>，所以函数()h x 是R 上的减函数，所以不等式()x f x e <；为()()001x f x f e e
<=。 所以0x >。
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11 . 设正项等比数列{}n a 已前n 项积为n T , 若1069T T =，则512a a ⋅的值为__________.
【知识点】等比数列的通项公式，等差数列的前n 项和公式的应用。
【答案解析】3  解析 ：解：由1069T T =得430215119,3a q a q ⋅=∴⋅=，所以512a a ⋅
4112151113a q a q a q =⋅==
【思路点拨】根据已知等式1069T T =得430215119,3a q a q ⋅=∴⋅=，所以512a a ⋅
4112151113a q a q a q =⋅==
12．执行如图所示的程序框图，输出的a 值为___________．
【知识点】程序框图描述的算法意义。
【答案解析】-2  解析 ：解：（1）i=1,a=-2,(2)i=2, a= 13-,(3)i=3,a=12
,(4)i=4,a=3, (5)i=5,a=-2,（6）i=6>5成立，所以输出的a 值为-2。
【思路点拨】根据程序框图描述的算法意义，依次写出每
次循环的结果即可。
13．在∆ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且角A =60°，若ABC S ∆=
5sin B =3sin C ，则∆ABC 的周长等于          .
【知识点】正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用。
【答案解析】8解析 ：解：由A =60°，ABC S ∆=
bc=15，由5sin B =3sin C 得 5b=3c ，解得b=3，c=5，有余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-
2235235cos6019=+-⋅⋅=，所以a =∆ABC 的周长等于8
【思路点拨】根据条件A =60°，4
ABC S ∆=得bc=15，再由5sin B =3sin C 得 5b=3c ，解得b=3，c=5，有余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-
2235235cos6019=+-⋅⋅=，所以a =∆ABC 的周长等于8
（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的极坐标方程为()4π
θρ=∈R ，它与曲线
12cos (22sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩
为参数）相交于A 和B 两点，则AB =          ． 【知识点】参数方程转化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程，圆的弦长求法。
解析 ：解：直线的极坐标方程为()4π
θρ=∈R 的直角坐标方程为：
y x =，曲线12cos (22sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩
为参数）的普通方程为：()()22124x x -+-=，易知AB
为圆：()()22124x x -+-=截直线y x =所得的弦，而圆心(1,2)到直线y x =的距离为2
所以AB =【思路点拨】把直线的极坐标方程为()4π
θρ=∈R 转化为直角坐标方程y x =；
把曲线12cos (22sin x y ααα
=+⎧⎨=+⎩为参数）转化为普通方程：()()22124x x -+-=，易知AB 为