2022年江西省中考数学压轴题解题策略之
二次函数压轴篇
2021江西省中考数学22
二次函数y ＝x 2﹣2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．
感知特例
（1）当m ＝1时，如图1，抛物线L ：y ＝x 2﹣2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ′，O ′，C ′，A ′，D ′，如表：
… B （﹣1，3） O （0，0） C （1，﹣1） A （      ，    ） D （3，3） … … B '（5，﹣3） O ′（4，0） C '（3，1） A ′（2，0） D '（1，﹣3）
…
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L '是L 的“孔像抛物线”．例如，当m ＝﹣2时，图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”． 探究问题
（2）①当m ＝﹣1时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为      ；
②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y ＝x 2﹣2mx 的所有“孔像抛物线”L '都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是      （填“y ＝ax 2+bx +c ”或“y ＝ax 2+bx ”或“y ＝ax 2+c ”或“y ＝ax 2”，其中abc ≠0）；
③若二次函数y＝x2﹣2mx及它的“孔像抛物线”与直线y＝m有且只有三个交点，求m
的值．
2020江西中考数学22
已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x…﹣2﹣1012…
y…m0﹣3n﹣3…
（1）根据以上信息，可知抛物线开口向，对称轴为；
（2）求抛物线的表达式及m，n的值；
（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P'，描出相应的点P'，再把相应的点P'用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？
（4）设直线y＝m（m＞﹣2）与抛物线及（3）中的点P'所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图象直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系．
2019江西省中考数学23
特例感知
（1）如图1，对于抛物线y 1＝﹣x 2﹣x +1，y 2＝﹣x 2﹣2x +1，y 3＝﹣x 2﹣3x +1，下列结论正确的序号是    ；
①抛物线y 1，y 2，y 3都经过点C （0，1）；
②抛物线y 2，y 3的对称轴由抛物线y 1的对称轴依次向左平移2
1个单位得到； ③抛物线y 1，y 2，y 3与直线y ＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．
形成概念
（2）把满足y n ＝﹣x 2﹣nx +1（n 为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”． 知识应用
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为P 1，P 2，P 3，…，P n ，用含n 的代数式表示顶点P n 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C 1，C 2，C 3，…，∁n ，其横坐标分别为﹣k ﹣1，﹣k ﹣2，﹣k ﹣3，…，﹣k ﹣n （k 为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线y＝1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，A n，连接∁n A n，
C n﹣1A n﹣1，判断∁n A n，C n﹣1A n﹣1是否平行？并说明理由．
1.小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验：（1）已知抛物线y＝﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b＝，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．
抽象感悟：
江西中考2022时间我们定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M中心对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．
（2）已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线
有交点，求m 的取值范围．
问题解决：
（3）已知抛物线y ＝ax 2+2ax ﹣b （a ≠0）
①若抛物线y 的衍生抛物线为y ′＝bx 2﹣2bx +a 2（b ≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a 、b 的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线y 关于点（0，k +12）的衍生抛物线为y 1，其顶点为A 1；关于点（0，k +22）的衍生抛物线为y 2，其顶点为A 2；…；关于点（0，k +n 2）的衍生抛物线为y n ，其顶点为A n …（n 为正整数）．求A n A n +1的长（用含n 的式子表示）．
2.已知抛物线C 1：y ＝ax 2﹣4ax ﹣5（a ＞0）．
（1）当a ＝1时，求抛物线与x 轴的交点坐标及对称轴；
（2）①试说明无论a 为何值，抛物线C 1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标； ②将抛物线C 1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C 2，直接写出C 2的表达式；
（3）若（2）中抛物线C 2的顶点到x 轴的距离为2，求a 的值．
3.设抛物线的解析式为y ＝ax 2，过点B 1（1，0）作x 轴的垂线，交抛物线于点A 1（1，2）；过点B 2（21，0）作x 轴的垂线，交抛物线于点A 2；…；过点B n （（2
1）n ﹣
1，0）（n 为正整数）作x 轴的垂线，交抛物线于点A n ，连接A n B n +1，得Rt △A n B n B n +1．
（1）求a 的值；
（2）直接写出线段A n B n ，B n B n +1的长（用含n 的式子表示）；
（3）在系列Rt △A n B n B n +1中，探究下列问题：
①当n 为何值时，Rt △A n B n B n +1是等腰直角三角形？
②设1≤k ＜m ≤n （k ，m 均为正整数），问：是否存在Rt △A k B k B k +1与Rt △A m B m B m +1相