所谓图的一笔画,指的就是:从图的一点出发,笔不离纸,遍历每条边恰好一次,即每条边都只画一次,不准重复.从图中容易看出:能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢?下面,我们就来探求解决这个问题的方法.
什么样的图形能一笔画成呢?这就是一笔画问题,它是一种有名的数学游戏.
我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点.相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点
一笔画问题:
(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形;
(2)凡是只由偶点组成的连通图形.一定可以一笔画出.画时可以由任一偶点作为起点.最后仍回到这点;
(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出.画时必须以一个奇点作为起点,以另一个奇点为终点;
(4)奇点个数超过两个的图形,一定不能一笔画.
多笔画问题:
我们把不能一笔画成的图,归纳为多笔画.多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半.事实上,对于任意的连通图来说,如果有2n 个奇点(n 为自然数),那么这个图一定可以用n 笔画成.
【例1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点,与奇数条线相连的点叫做奇点.下图中,哪些点
是偶点?哪些点是奇点?
【解析】奇点:J D H F 偶点:A E B C G I
【例2】判断下列图a 、图b 、图c 能否一笔画.
图a N
M L K
F
D E C B
A
图b O D C
B A 图c G F E D
C B A 【解析】图a 能,因为有2个奇点,
图b 不能,因为图形不是连通的,
图c 能,因为因为图中全是奇点
【例3】下面图形能不能一笔画成?若果能,应该怎样画?
例题精讲
奇妙的一笔画
【解析】图1能因为图中全是偶点,
图2能因为图中全是偶点,
图3不能因为有4个奇点.
【例 4】下面的图形,哪些能一笔画出?哪些不能一笔画出?
【解析】第1个能,2、3不能
【例5】下图中不能一笔画成,请你在下图中添加最少的线段,将其改成一笔画的图形,并画出路线图.
【解析】不能一笔画出,因为图中有E H G F四个奇点,连结EH就可以使图形一笔画出.
【例6】下图中的线段表示小路,请你仔细观察,认真思考,能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁?
该怎样爬?
【解析】要想不重复爬出,需要图形能一笔画出,由于图中有两个奇点,所以应该从奇点出发才能一笔画出图形,所以甲蚂蚁能够.
【例7】能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形?
【解析】可以.
【例8】下图是儿童乐园的道路平面图,要使游客走遍每条路并且不重复,那么出、入口应设在哪里?
【解析】要想不重复,需要路线能一笔画出,由于图中有两个奇点,所以入口和出口应该分别放在两个奇点
出,即F 和I 点.
【例9】邮递员叔叔向11个地点送信一次信,不走重复路,怎样走最合适?
【解析】不走重复路,一笔能画出路线图,图中有
多一点就不准2个奇点,应该从奇点处出发,下面有一种参考路线:
4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3
【例10】观察下面的图,看各至少用几笔画成?【解析】图(1)有8个奇点,所以要4笔画出,
图(2)有12个奇点,所以要一笔画出,
图(3)能一笔画出.
【例11】判断下列图形能否一笔画.若能,请给出一种画法;若不能,请加一条线或去一条线,将其改
成可一笔画的图形.
I H G F E D C
B A
图a H G I K L J F E
D C
B A
图b D C H G E F B A 图c
【解析】图(1)不能一笔画出,因为图中有4个奇点,连结BD ,或者去掉BF 都可以使图形能一笔画出.
图(2)不能一笔画出,因为图中有4个奇点,去掉KL ,或者BK 都可以使图形能一笔画出.
图(3)不能一笔画出,因为图中有4个奇点,去掉AB 可以使图形能一笔画出.
一个K (K >1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢?我们知道K 笔画有2K 个奇点,如果在任意两个奇点之间添加一条连线,那么这两个奇点同时变成了偶点.如左下图中的B ,C 两个奇点在右下图中都变成了偶点.所以只要在K 笔画的2K 个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个,从而变成一笔画.
【例12】18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市,在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区,这条河有
两条支流在城市中心汇合,汇合处有一座小岛A 和一座半岛D ,人们在这里建了一座公园,公园中