云南省玉第一中2024年招生全国统一模拟考试数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若[]0,1x ∈时，|2|0x
e x a --≥，则a 的取值范围为（ ）
A ．[]1,1-
B ．[]2,2e e --
C ．[]2e,1-
D ．[]2ln 22,1-
2．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布35
31
尺，则这位女子织布的天数是（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．1
3．已知ABC 是边长为3的正三角形，若1
3
BD BC =，则AD BC ⋅=
A ．32
- B ．
152 C ．
32
D ．152
-
4．已知i 是虚数单位，则复数2
4
(1)
i =-（ ） A ．2i
B ．2i -
C ．2
D ．2-
5．在平面直角坐标系xOy 中，锐角θ顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴，终边与单位圆交于点5P m ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，则
sin 24πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．
10
B ．
10
C ．
10
D 6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，56104a a a +=+，则21S =（ ） A ．7
B ．14
C ．28
D ．84
7．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验
中成功次数X 的期望为（ ） A ．
B ．
C ．1
D ．2
8．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a = ）
A ．{}a A ⊆
B ．a A ⊆
C ．{}a A ∈
D ．a A ∉
9．设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）
，定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫
∈+≥-+⎨
⎬⎩⎭
，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．e
⎛⎫+∞
⎪ ⎪⎝⎭
B ．,)e +∞
C ．,)e +∞
D ．e
⎡⎫
+∞⎪⎢⎪⎣⎭
10．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ
=->>，将函数()f x 的图象向左平移3
π个单位长度，得到函数()g x 的图象，
若函数()g x 的图象的一条对称轴是6
x π
=，则ω的最小值为 A ．
1
6
B ．
23 C ．
53
D ．
56
11．若圆锥轴截面面积为2360°，则体积为( )
A 3
B 6
C 23
D 26
12．已知函数()()1x
f x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <；成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．(),1e -∞-
B ．()1,e -+∞
C ．(],0e -
D ．(]
1,1e -
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数()|ln |f x x m x =-恰好有3个不同的零点，则实数m 的取值范围为____
14．已知椭圆22
1164
x y +=的下顶点为A ，
若直线4x ty =+与椭圆交于不同的两点M 、N ，则当t =_____时，AMN ∆外心的横坐标最大．
15．已知两动点,A B 在椭圆()2
2211x C y a a
+=>上，动点P 在直线34100x y +-=上，若APB ∠恒为锐角，则椭圆
C 的离心率的取值范围为__________．
16．已知集合{}|21,A x x k k Z ==+∈，(){}
多一点就不准|50B x x x =-<，则A
B =_____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知()|1|1f x x =-+，()(),3
123,3f x x F x x x ≤⎧=⎨
->⎩
. （1）解不等式()23f x x ≤+；
（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围. 18．（12分）已知直线l 的极坐标方程为63sin πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭，圆C 的参数方程为1010x cos y sin θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）． （1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．
19．（12分）已知在多面体ABCDEF 中，平面CDFE ⊥平面ABCD ，且四边形ECDF 为正方形，且D
C //AB ，
36AB DC ==，5AD BC ==，点P ，Q 分别是BE ，AD 的中点.
（1）求证：//PQ 平面FECD ；
（2）求平面AEF 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值.
20．（12分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：1111112,1,2,2,*,2n n n n n n a b a a b b b a n N n ----==-=-=-∈≥. （1）求证：数列{}n n a b -为等比数列；
（2）求数列13n n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S .
21．（12分）设x ，y ，z R ∈，()2z x y m +=. （1）若2
2
2
23x y z ++的最小值为4，求m 的值；
（2）若22
2
1412
x y z ++
≥，证明：1m ≤-或m 1≥. 22．（10分）已知函数2
1()(1)ln (,0)2
f x ax a x x a R a =
---∈≠ （1）求函数()f x 的单调递增区间
（2）记函数()y F x =的图象为曲线C ，设点1122(,),(,)A x y B x y 是曲线C 上不同两点，如果在曲线C 上存在点
00(,)M x y ，使得①12
02
x x x +=
；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数存在“中值和谐切线”，当2a =时，函数()f x 是否存在“中值和谐切线”请说明理由
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．D 【解析】
由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，
x
x
f x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f x
g x 即可得a 的取值范围.
【详解】
由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，
令()()2g 2，
x
x
f x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=， ()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减， ()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，
又()g 2x
x x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==，
∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.
故选：D 【点睛】
本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解. 2．B 【解析】
将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题. 【详解】
根据实际问题可以转化为等比数列问题， 在等比数列{}n a 中，公比2q ，前n 项和为n S ，55S =，35
31
m S =
，求m 的值． 因为()51512512
a S -==-，解得1531a =，()5
1235311231
m m
S -==-，解得3m =．故选B ． 【点睛】
本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助. 3．A 【解析】
由1
3BD BC =可得13
AD AB BD AB BC =+=+，因为ABC 是边长为3的正三角形，所以
221113
()33cos12033332
AD BC AB BC BC AB BC BC ⋅=+⋅=⋅+=⨯︒+⨯=-，故选A ．
4．A 【解析】
根据复数的基本运算求解即可. 【详解】
22
4422(1)2i
i i i i
===---. 故选：A 【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算，属于基础题. 5．A 【解析】
根据单位圆以及角度范围，可得m ，然后根据三角函数定义，可得sin ,cos θθ，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果. 【详解】
由题可知：2
2
15m ⎛+= ⎝⎭
，又θ为锐角
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