单元小结练 万有引力与航天
(限时：45分钟)
A．GM＝ B．GM＝
C．GM＝ D．GM＝
答案 A
解析 太阳对行星的万有引力提供向心力，即＝mr，整理可得GM＝r3，故A正确．
A．质量可以不同 B．轨道半径可以不同
C．轨道平面可以不同 D．速率可以不同
答案 A
解析 地球同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同且与地球自转“同步”，所以它们的轨道平面都必须在赤道平面内，故C项错误；由ω＝、mRω2＝G可得R＝，由此可知所有地球同步卫星的轨道半径都相同，故B项错误；由v＝Rω，ω＝可得v＝.可知所有地球同步卫星的运转速率都相同，故D项错误；而卫星的质量不影响运转周期，故A项正确．
3．如图1所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P点经极短时间点火变速后进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P点，远地点为同步轨道上的Q点)，到达远地点时再次经极短时间点火变速后，进入同步轨道．设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在P点经极短时间变速后的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点经极短时间变速后进入同步轨道后的速率为v4.下列关系正确的是 ( )
图1
A．v1<v3 B．v4<v1 C．v3<v4 D．v4<v2
答案 BCD
解析 在P点经极短时间点火，速度增大后进入椭圆形转移轨道，v2>v1；卫星在椭圆轨道上运动，机械能守恒，v3<v2；不能比较v1和v3的大小，选项A错误．在Q点经极短时间点火，速度增大后进入圆形同步轨道，v3<v4，选项C正确．根据G＝m，v＝，由此可知，v4<v2，v4<v1，选项B、D正确．
4．宇宙中两个星球可以组成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线的某点做周期相同的匀速圆周运动．根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法错误的是 ( )
A．双星相互间的万有引力减小
B．双星做圆周运动的角速度增大
C．双星做圆周运动的周期增大
D．双星做圆周运动的半径增大
答案 B
解析 由m1r1ω2＝m2r2ω2及r1＋r2＝r得，r万有引力常量1＝，r2＝，可知D正确；F＝G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，r增大，F减小，A正确；r1增大，ω减小，B错误；由T＝知T增大，C正确．
5．2010年诺贝尔物理学奖授予英国的安德烈·海姆和康斯坦丁·诺沃肖洛夫，表彰他们在石墨烯材料方面的卓越研究．它是目前世界上已知的强度最高的材料，为“太空电梯”缆线的制造提供了可能．近日，日本大林建设公司公布了建造“太空电梯”计划，希望到了2050年，人们不需要搭乘太空船，只要搭电梯就能够圆太空梦．如图2所示，假设有一个从地面赤道上某处连向其正上方地球同步卫星的“太空电梯”．关于“太空电梯”缆线上各处，下列说法正确的是 ( )
图2
A．重力加速度相同 B．线速度相同
C．角速度相同 D．各质点处于完全失重状态
答案 C
解析 由G＝mg得g＝，可见离地面高度不同，其重力加速度大小不同，选项A错误；缆线上各处的角速度均与地球自转角速度相同，选项C正确；由v＝(R＋h)ω知，离地面高度不同的点，其线速度大小不同，选项B错误；假设各质点处于完全失重状态，由G＝m(R＋h)ω2得ω＝，则完全失重时离地面高度不同处角速度大小不同，因角速度相同，故假设不成立．选项D错误．
6．2013年2月16日凌晨，2012DA14小行星与地球“擦肩而过”，距离地球最近约2.77万公里．据观测，它绕太阳公转的周期约为366天，比地球的公转周期多1天．假设小行星和地球绕太阳运行的轨道均为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2，以下关系式正确的是 ( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
答案 BD
解析 由开普勒行星运动定律和万有引力提供向心力可知＝k，v＝，将＝代入可得选项B、D正确．
7．小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍．某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图3所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回．当第一次回到分离点时恰与
航天站对接．登月器快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g0，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为 ( )
图3
A．4.7π B．3.6π
C．1.7π D．1.4π
答案 A
解析 由题可知，航天站的轨道半径为3R，设航天站转一周的时间为T，则有＝m (3R)，对月球表面的物体有m0g0＝，联立两式得T＝6π.登月器的登月轨道是椭圆，从与航天站分离到第一次回到分离点所用时间为沿椭圆运行一周的时间T′和在月球上停留时间t之和，若恰好与航天站运行一周所用时间相同时t最小，则有：tmin＋T′＝T，由开普勒第三定律有：＝，得T′＝4π，则tmin＝T－T′≈4.7π，所以只有A对．
8．2012年6月18日，我国的神舟九号载人飞船与“天宫一号”目标飞行器顺利对接，三位航天员首次入住“天宫”．已知“天宫一号”绕地球的运动可看做匀速圆周运动，转一周所用的时间约90分钟．关于“天宫一号”，下列说法正确的是 ( )
A．“天宫一号”离地面的高度一定比地球同步卫星离地面的高度小
B．“天宫一号”的线速度一定比静止于赤道上的物体的线速度小
C．“天宫一号”的角速度约为地球同步卫星角速度的16倍
D．当航天员站立于“天宫一号”内不动时，他所受的合力为零
答案 AC
解析 由G＝m＝m()2(R＋h)得v＝，T＝可知，因为T天<T同，则h天<h同，v天>v同，A对，B错；因＝＝＝16，所以C对．
9．在四川汶川的抗震救灾中，我国自主研制的“北斗一号”卫星导航系统，在抗震救灾中发挥了巨大作用．北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中两颗工作卫星均绕地心O做匀速圆周运动，轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置(如图4所示)．若卫星均按顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R.不计卫星间的相互作用力．则以下判断中正确的是 ( )
图4
A．这两颗卫星的加速度大小相等，均为
B．卫星1向后喷气就一定能追上卫星2
C．卫星1由位置A运动到位置B所需的时间为
D．卫星1中质量为m的物体的动能为mgr
答案 C
解析 由万有引力定律＝man，在地球表面＝m物g，故an＝，故A错误；卫星1向后喷气时，卫星速度增大，将做离心运动，不能追上卫星2，故B错误；由＝m·r得T＝2πr＝2πr＝，卫星1由A运动到B所需时间t＝＝，故C正确；由＝和GM＝gR2得Ek＝mv2＝，故D错误．
10．我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图5所示，关闭发动机的航天飞机A在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接
．已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R.下列判断正确的是 ( )
图5
A．航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站轨道时必须减速
B．图中的航天飞机正在加速飞向B处
C．月球的质量M＝
D．月球的第一宇宙速度v＝
答案 ABC
解析 航天飞机到达B处时速度比较大，如果不减速此时万有引力不足以提供航天飞机所需的向心力，这时航天飞机将做离心运动，故A正确；因为航天飞机越接近月球，受到的万有引力越大，加速度越大，所以正在加速飞向B处，故B正确；由万有引力提供空间站做圆周运动的向心力，则G＝m，整理得M＝，故C正确；速度v＝是空间站在轨道r上的线速度，而不是围绕月球表面运动的第一宇宙速度，故D错误．
11．“神舟十号”飞船发射升空后，先后经历5次变轨，调整到处于“天宫一号”目标飞行器后方约52公里处，并与“天宫一号”处于同一离地面高343公里的圆形轨道上，最后与“天宫一号”实施首次交会对接，完成浪漫的“太空之吻”．“神舟十号”飞船与“天宫一号”飞行器处在同一轨道上时，忽略它们之间的万有引力，则 ( )
A．“神舟十号”飞船与“天宫一号”飞行器受到地球的吸引力大小相等
B．“神舟十号”飞船与“天宫一号”飞行器的向心加速度大小相等
C．对接前，“神舟十号”欲追上“天宫一号”，必须在同一轨道上点火加速
D．“神舟十号”飞船与“天宫一号”飞行器速度一样大，比地球同步卫星速度大
答案 BD
解析 “神舟十号”飞船与“天宫一号”飞行器二者质量未知，受到地球的吸引力大小无法求出，A错误；由于二者处于同一离地面高343公里的圆形轨道上，由公式v＝知，“神舟十号”与“天宫一号”的速度大小相等，高度比同步卫星低，所以速度比地球同步卫星速度大，由a＝知，二者向心加速度大小相等，所以B、D正确；若在同一轨道上点火加速，飞船将做离心运动，所以C错误．
12．某球形天体的密度为ρ0，引力常量为G.
(1)证明对环绕密度相同的球形天体表面运行的卫星，运动周期与天体的大小无关．(球的体积公式为V＝πR3，其中R为球半径)．
(2)若球形天体的半径为R，自转的角速度为ω0＝，表面周围空间充满厚度d＝(小于同步卫星距天体表面的高度)、密度ρ＝的均匀介质，试求同步卫星距天体表面的高度．
答案 见解析
解析 (1)设环绕其表面运行的卫星的质量为m，运动周期为T，球形天体半径为R，天体质量为M，由牛顿第二定律有G＝m()2R ①
而M＝ρ0·πR3 ②
由①②式解得T＝，可见T与R无关，为一常量．
(2)设该天体的同步卫星距天体中心的距离为r，同步卫星的质量为m0，则有G＝m0ωr ③
而M′＝ρ·π[(R＋d)3－R3] ④
由②③④式解得r＝2R
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