“双一流”高效自主招生好题精选
4.抛体与万有引力问题
1．斜抛运动
由运动合成原理，可以把斜抛运动看作两个直线运动的合成。常见的两种分解方法是：
(1)如图所示，以抛射点为坐标原点，在竖直平面内建立直角坐标系，则斜抛运动的方程的分量形式为
vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ－gt，
x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－gt2，
θ、加速度为g的竖直抛体运动。
令vy＝0，最大高度H＝。
令y＝0，最大水平射程L＝。
设θ1、θ2为同一射程的两个抛射角，显然有关系θ1＋θ2＝。
(2)在讨论沿斜面向上(或向下)物体的斜抛运动时，通常令直角坐标系的x、y轴分别指向沿斜面向上(或向下)和垂直于斜面向上的方向更为简便，此时x、y轴方向的运动均为匀变速直线运动。
2．速度关联
(1)对于用不可伸长的绳连接的质点：通过分解成沿绳方向和垂直绳方向的两个分运动。在同一时刻两质点沿绳方向的分运动的速度大小相等，加速度大小也相等。
(2)固定在同一刚体上的两质点：通常将它们的运动分解为沿它们连线方向和垂直它们连线方向的两个分运动。在同一时刻，它们在沿连线方向的分运动的各运动学量大小相等，垂直连线方向上角速度及角加速度相等。
(3)始终保持接触的两物体：将两物体接触处的运动沿接触面法线方向和切线方向分解，则它们在同一时刻沿法线方向的分速度相等。
(4)对于线状物的交叉点：在求两线状物的交叉点的速度时，将两线状物的运动沿双方切线方向分解，则交叉点的速度就是两线状物沿对方切向分量的矢量和。
3．万有引力定律的两个推论
(1)质量为m1、半径为R的均匀球壳对距球心为r、质量为m2的质点的万有引力为
F＝
(2)质量为m1、半径为R的均匀球体对距球心为r、质量为m2的质点的万有引力为
F＝其中m1r＝。
4．万有引力势能
质量为m1、半径为R的均匀球壳对距球心为r(>R)、质量为m2的质点，相互作用的引力势能为Ep＝－(r>R)。
对放置在球内的质点，相互作用的引力势能为一常量，等于质点放置在球面时的势能，即Ep＝－(r≤R)，就像球体质量全部集中在球心一样。
1．(“卓越”自主招生)一质量为m的质点以速度v0运动，在t＝0时开始受到恒力F0作用，速度大小先减小后增大，其最小值为v1＝v0。质点从开始受到恒力作用到速度最小的过程中的位移为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题述，质点做类斜抛运动。由质点最小值为v1＝v0，可知质点初速度方向与恒力F0方向夹角为150°。可把质点的初速度沿力F0方向和垂直力F0方向分解，质点加速度a＝，沿力F0方向的反方向位移y＝＝。质点速度减小到最小值需要时间t＝＝，垂直力F0方向位移x＝v0cos 60°·t＝。质点从开始受到恒力作用到速度最小的过程中的位移为s＝＝，选项D正确。
2．(“华约”自主招生)如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在水平杆OC上的小环M运动。运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M的加速度将( )
A．逐渐增大 B．先减小后增大
C．先增大后减小 D．逐渐减小
【答案】A
【解析】令∠OAB＝ωt，则AB＝，环的速度由M指向C，M相对于AB杆速度为M指向B，杆上的M绕A点做圆周运动。所以vM＝＝。M点的加速度aM等于速度对时间的变化率，所以aM＝sin ωt。ωt变大，角速度ω不变，加速度变大。
3．(浙江大学自主招生)假定地球为均匀球体，其半径为R0，在地球表面测得重力加速度为g0，设g为离开地球表面的高度达h时的重力加速度。当h比R0小得多时，g和g0可能的变
化关系近似式为(有数学近似公式：当x≪1时，(1＋x)n≈1＋nx。)( )
A．g＝g0 B．g＝g0
C．g＝g0 D．g＝g0
【答案】C
【解析】根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G＝mg0，G＝mg。解得g＝g02＝g0－2≈g0。
4.平面上两直线夹角为θ(θ＜90°)，若它们各以垂直于自身的速度v1万有引力常量、v2在该平面上作如图所示的横向运动，求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每一直线的速率。
【解析】令t时刻两直线的交点为O点，经一小段Δt时间直线l1移动v1Δt，两直线交点由O移到O1，表示交点O的运动方向沿l2。v1′＝＝。在Δt时间直线l2移动v2Δt，两直线交点由O1移到O2，速度v2′＝＝。这样，交点相对于纸平面的速度
v＝＝
从图中看出，原交点在l1的位置运动到A点，在l2上的位置运动到B点，所以交点O相对于l1速度vA＝v1cot θ＋，交点O相对于l2速度vB＝v2cot θ＋。
【答案】见解析
5．(浙江大学自主招生)如图所示，连通器有三根竖直开口的细管A、B、C，两管之间的距离为L。现向连通器中注入适量的水，并让它绕中间的细管B转动起来，当转动角速度为ω时，中间细管B内的水面恰与横管内水面相齐。则A管中水面的高度h为多大？
【解析】取O点右侧水平管中水为研究对象，则(p0＋ρgh)S－p0S＝，其中m＝ρSL，且水平面中各处水的向心力与该处离O点的距离成正比，所以才可以用代替这部分水作圆周运动向心力中的半径，解得h＝。
【答案】
6.在仰角α＝30°的雪坡上举行挑台滑雪比赛，如图所示。运动员从坡上方A点开始下滑，到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率而以与水平成θ角的方向起跳。最后落在坡上B点，坡上OB两点距离L为此项运动的记录。已知A点高于O点h＝50 m，不计摩擦和阻力，则最远可跳多少米？此时起跳角为多大？
【解析】运动员在O点速度v0＝＝10 m/s。起跳后运动员做斜上抛运动。
法一：以O为原点，建立水平向右和竖直向上的xOy坐标系，把运动分解为水平向右的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动。
x＝v0cos θ·t，y＝v0sin θ·t－gt2，令y＝－xtan α
解得x＝＝。当2θ＋α＝90°，θ＝30°时，xmax＝，此时OB有极大值L＝＝200 m。
法二：建立如图甲所示坐标系，把运动分解为沿斜面方向的匀加速直线运动和垂直于斜面方向的匀减速直线运动。
甲
L＝v0tcos(α＋θ)＋，0＝v0tsin(α＋θ)－
余下的计算过程同上。
法三：把运动视为v0方向的匀速运动和自由落体运动的合成。如图乙所示。
乙
＝＝，消去t，同样得到L的表达式，余下解略。
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