五、万有引力
1、开普勒三定律：
⑴开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上
⑵开普勒第二定律（面积定律）：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积 ⑶开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
对T 1、T 2表示两个行星的公转周期，R 1、R 2表示两行星椭圆轨道的半长轴，则周期定律可表示为32
312221R R T T =
或k
T R =3
3，比值k 是与行星无关而只与太阳有关的恒量
【注意】：⑴开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，只不过此时k T
R =33
‘
，比值k ’
是
由行星的质量所决定的另一恒量。
⑵行星的轨道都跟圆近似，因此计算时可以认为行星是做匀速圆周运动  ⑶开普勒定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，它们每一条都
是经验定律，都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的。
例题：飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T ，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示，如果地球半径为R 0，求飞船由A 点到B 点所需要的时间。 解析：依开普勒第三定律知，飞船绕地球做圆周（半长轴和半短轴相等的特殊椭圆）运动时，其轨道半径的三次方跟周期的平方的比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时，其半长轴的三次方跟周期平方和比值，飞船椭圆轨道的半长轴为
2
R R +，设飞船沿椭圆轨道运动的周期一、知识网络
二、
画龙点睛
概念
为T ＇，则有
2
3
02
3'8)(T R R T R +=
而飞船从A 点到B 点所需的时间为 t=
R
R R R T
R R T 24)(2'00+⋅
+= 2、万有引力定律：
⑴表述：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘
积成正比，跟它们的距离的二次方成反比
⑵公式：2
21r
M M G F =  其中M 1、M 2是两个物体的质量，r 为两物体间的距离，G 为万有引力常量
⑶引力常量G ：①适用于任何两个物体
②意义：它在数值上等于两个质量都是1㎏的物体相距1m 时的相互作用
力
③G 的通常取值为G ＝6.67×10－11Nm 2/㎏2
⑷适用条件：①万有引力定律只适用于质点间引力大小的计算。当两物体间的距离远远
大于每个物体的尺寸时物体可以看成质点，直接用万有引力定律计算 ②当两物体是质量分布均匀的球体时，它们间的万有引力也可直接用公式计算，但式中的r 是指两球心间的距离
③当研究物体不能看成质点时，可以把物体假想分割成无数个质点，求出每个质点与另一个物体的所有质点的万有引力，然后求合力。
⑸地球上质量为m 的物体所受的重力近似等于地球对物体的万有引力，可用mg ＝GMm/r 2
计算
⑹对万有引力定律的进一步理解  ①普遍性：万有引力是普遍存在于宇宙中的任何有质量的物体间的相互吸引力，它是自
然界的物体间的基本相互作用之一。
②相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力，符合牛顿第三定律 ③宏观性：通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与物体间它
的存在才有宏观的物理意义。在微观世界中，粒子的质量都非常小，粒子间的万有引力很不显著，万有引力可忽略不计 ⑺引力常量G 的测定：  ①卡文迪许扭秤实验：
②G 的值：利用控制变量法多次进行测量，得出万有引力常量G ＝6.67259×10－11Nm 2/kg 2
，
通常取6.67×10-11 Nm 2/kg 2
。
③测定引力常量的意义：证明了万有引力的存在；使得万有引力定律有了真正的实用价值，可测定远离地球的一些天体的质量、平均密度等。如根据地球表面的重力加速度可以测定地球的质量
1、万有引力在天文学上的应用 ⑴天体质量的测定：
①天体（卫星）的运动可近似看作匀速圆周运动，在任何条件下总满足：万有引力等于向心力
规律
根据2
2
42T
r m r
Mm G π=  可求得天体的质量2
3
24GT r M π=
如果已知天体的半径R ，可进一步求得天体的密度2
3323333
423
24GT R GT r R GT r V
M
π
πππρ=
=
=
=（近地卫星R=r ）  ②天体表面上的物体所受的万有引力近似等于物体所受到的重力
根据2
R
Mm G mg =      可得天体的质量：G
gR M 2
=
天体的密度RG g R G gR V
M ππρ4333
42
=
==
⑵地球上物体的重力：
①由于地球的自转，地球对物体的万有引力存在两个效果：
A 、万有引力的一个分力是指向地轴的，提供物体做圆周运动的向心力
B 、万有引力的另外一个分力才是物体所受的重力
所以物体的重力是随地理纬度的变化而变化，同一物体在两极处重力最大，在赤道处重力最小
地球表面的重力加速度g 也是随地理纬度的变化而变化，g 在两极处最大，在赤道处最小 ②重力随高度变化而变化：2
0R Mm G
mg =
2
)(h R Mm G
h mg +=
02
)(
g h
R R h g += 例题：某星球自转周期为T ，在它的两极处用弹簧秤称得某物重W ，在赤道上称得该物重W '，求该星球的平均密度ρ。
解析：题目中弹簧秤称得物重W 与W '，实质上是弹簧秤的读数，即弹簧的弹力，在星球
的两极物体受星球的引力F W 引与弹簧秤的弹力作用，因该处的物体无圆运动，处于静止状态，有
2
R m
M G
W F ·引==    ——————①
（其中M 为星球质量，m 为物体质量，R 为星球半径）又33
4R V M πρ
ρ·==，代入①式后整理得
GRm
W
πρ43=
——————②
在星球赤道处，物体受引力F W 引与弹簧秤的弹力的作用，'物体随星球自转做圆运动，所以
R T m W F 2
2
4π='-引 R T m
W W W F 2
24π='-∴=引又
2
2
4)(πT W W mR '-=
—
—————③
将③式代入②式，整理后得
)
(32W W GT W '-=
πρ
⑶天体上物体的重力和重力加速度： ① 天体上物体的重力：
2
R Mm G
mg =
天体表面上物体的重力加速度：2
R
GM g = ②不同天体A 和B 表面的重力加速度之比：2
2
A
R B
R B M A M B g A g ⋅=
② 天体的质量：由2
R
Mm G mg =  可得天体的质量：G
gR M 2
=
进一步可得天体的密度RG g R G gR V
M ππρ4333
42=
==
例题：地核的体积约为整个地球体积的16％，地核的质量约为地球质量的34％，经估算，地核的平均密度为        kg/m 3。 (结果取两位有效数字，R 地＝6.4⨯106m ，G ＝6.7⨯1011
－N·m 2
/kg 2
)
解析：在本题中可利用常见的物理常数（如地球表面的重力加速度g 、地球半径等）进行运算，先求地球的密度，然后通过比例关系求出地核的密度。
由近地面物体所受重力可近似等于其所受万有引力，可得mg=G
2R
mM
，所以 M ＝G gR 2，所以地球 ρ＝V M ＝RG g π43，所以地核的密度ρ/
＝V
M 16.034.0＝1.2×104
kg/m 3
。
点评：本题启发学生要抓住事物地主要属性和本质特征，分析、解决物理问题，同时要
求学生对万有引力定律有深刻的理解，还要求学生掌握球体的体积公式。
例题：一组太空人乘太空穿梭机，去修理位于离地球表面6.0×105m 的圆形轨道上的哈勃太空望远镜H ，机组人员使穿梭机S 进入与H 相同的轨道并关闭推动火箭，而望远镜则在穿梭机前方数公里处，如图所示，设G 为引力常数，而M 为地球质量。（已知：地球半径为6.4×106m ）
(1)在穿梭机内，一质量为70kg 的太空人的视重是多少？
（2）○
1计算轨道上的重力加速度的值。○2计算穿梭机在轨道上的速
率和周期。
（3）穿梭机须首先螺旋进入半径较小的轨道，才有较大的角速度追上前面的望远镜，用上题的结果判断穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减小其原有速率，解释你的答案
解析：（1）在穿梭机内，一质量为70kg 的太空人的视重为0
（2）○
1因为mg ＇=G [Mm /（R +h ）2]，所以g ＇=GM /（R +h ）2，其中R =6.4×106m,h =6.0×105m,g ＇=8.2m/s 2.○
2地球对穿梭机的万有引力提供向心力，有GMm /(R +h )2=mv 2/(R +h ) 所以v =GM h R GM h R /)(2/)(4332+=+ππ      T =
h
R GM
v h R +=+)
(2π  (3)由G  =r v m r
Mm 2
2=有v =r M ，因引力做正功，动能增加，低轨道环绕速度v ＇r 大于原
轨道环绕速度v r ，又因为v =ωr ，v ＇r >v r ，r ＇<r ，则ω＇r >ωr ，从而获得较大的角速度，则
可能赶上哈勃太空望远镜H 。
点评：物理学与自然和生活的联系是丰富多彩的，所以生活中一些常识、规律是命题者的素材，近几年的高考越来越来越强调与生活实际相联系，这就要求我们多留心现实生活，多关注生活规律，以培养学生的各种能力，在解决实际问题过程中，知识领域不断扩大。
⑷人造地球卫星
①对绕地球M 运行的人造卫星m ，经受力分析得：重力＝万有引力＝向心力，卫星处于完全失重状态。
②由r v m r
Mm G 2
2
=得：r
r GM
v 1∝=  当r 最小时线速度最大gR R
gR R
GM
v ===
2
max
（第一宇宙速度7.9km/s ）
由22
ωmr r
Mm G =得：3
13
r r GM
∝=
ω  当r 最小时角速度最大 由2)2(2
T
mr r
Mm G π
=得：33
24r GM
r T ∝=
万有引力常量
π 当r 最小时周期最小g
R gR R T ππ22
3
24min ==
（卫星绕地球运动的最小周期约为84分钟左右）
例题：设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比（  ）
A 、地球与月球间的万有引力将变大
B 、地球与月球间的万有引力将变小
C 、月球绕地球运动的周期将变长
D 、月球绕地球运动的周期将变短
解析：设开始时地球的质量为m 1，月球的质量为m 2两星球之间的万有引力为F 0，开矿后地球的质量增加△m ，月球质量相应减少△m ，它们之间的万有引力变为F ，根据万有引力公式
F 0=
G 221R m m        F =G 2
21))((R m m m m ∆-∆+=222122
1)(R m m m m G R m Gm ∆+∆--
上式中因m 1>m 2，后一项必大于零，由此可知F 0>F，故选项B 正确.
不论是开矿前还是开矿后，月球绕地球做圆周运动的向心力都有万有引力提供，故开矿前