第六章 万有引力定律（2）
学习内容：§6、2（四）（五） §6、3 引力势能
引力将出现微小的差别。3
mM
w f G
r r ≠=- 2、讨论引力势能和宇宙速度 （四）地球自转对质量的影响
我们都知道，地球的运动有公转和自转。所以说严格地将，地球不是一个惯性系，而是一个非惯性系。只不过在一定条件下，我们可以把地球近似地作为惯性系来处理。有关内容在前几章的学习中已有所介绍，在次就不再重复。今天我们所要讨论的是地球自转对质量
的影响。 如图所示，质量为m 的质点悬挂于线的末端且相对地球静止。
①若将地球视为惯性系，则m 受拉力T 和
重力（w ⇒地球引力）作用而处于平衡状态（静止）。
②若将地球视为非惯性系，受三个力
{
*()()
c T f f (拉力)
地球引力惯性力 而*0c T
f f ++=
根据重力定义：w T =-
又 3mM
f G r r
=-
得： *
2
c w f f f m R ω=+=+
由此可见，更精确地说，质点重力是地球引力与离心惯性力的合力。 其中：cos R R λ=地（
R 地为地球半径），地球表面附近R 地
显然：R λ↑⇒↓，而ω随纬度的不同而改变（大小，方向） 讨论：①因为ω与f 不在同一条直线上，或ω不过地球中心。
（重力方向偏离引力的角度?α=）
ω
T
*
f R '
f
λ
mg f ω≈=
T
如图对三角形（123），用正弦定理：
*sin sin c f αλ
ω
= *
sin sin c
f
αλω
∴=
2sin m R mg
ωλ=
22cos sin sin 22R R g
g
ωλλ
ωλ
=
=
地地
依题意{567.310/6.4109.8/rad s
R m
g m s
ω-≈⨯≈⨯=地
考虑到α较小：sin αα≈
31.7410sin 2αλ-∴≈⨯
取45,6λα'==
可见重力与引力的夹角很小。
②()?ωλ=（大小）
利用正弦定理，有：
sin sin(180)sin()
f f
ω
λ
λαλα=
=--+
sin sin()
f λ
ωλα=
+
sin()sin cos cos sin λαλαλα+=+
由 cos 1α≈
1sin (1sin )sin cos sin f f ctg λ
ωλαλλα
-=
=++
已知：2sin 2sin 2R g
ωλ
α=
地
21sin 2(1)2R f ctg g
ωλ
ωλ
-=+地
221cos (1)R f g
ωλ
万有引力常量-=+
地
R
f
ω
T
ω
α
再利用：1(,x x -+=- ||1
x 可得：22(1cos )R f g
ωω
λ=-
⇒地
重力大小随纬度的变化公式。
<ⅰ>0λ＝（赤道上），2min (1)R f g
ωω=-
地
；
<ⅱ>2
π
λ=±
（两极上），max f ω=；
<ⅲ>
02
2
π
λπ
λ<<
-
<<}min max f ωωω⇒<<=
但总的来讲，ω和f 相差不多，例如：45,(10.00174)f λω==-
总之，由于地球自转的影响，使得重力和地球引力出现微偏。（大小和方向都不相同）
（五）牛顿万有引力定律的适用范围 经典的万有引力定律——牛顿的引力理论，反映了一定历史阶段人类对引力的认识。在上一世纪末发现水星近日点的进动（移动）速度比理论值大。
而开普勒定律认为，行星绕太阳的轨道是以太阳为焦点的椭圆，按牛顿力学推算，严格的平方反比律导致严格的椭圆——闭合曲线。行星沿着它作严格的周期运动。
但实际的天文观测告诉人们，行星的轨
道并不是严格闭合的，它们的近日点有进动（移 动）。
原因：
←−−→⎫
⎪←−−→⎬⎪⎭
较大
较小
太阳水星
地球金星水星木星 考虑到其它行星的扰动，由牛顿力学计算得到近日点进动值为：43.03/''世纪5557.62/''世纪
实际观测值：5600.73/''世纪
即而实际值比理论值大：43.11/''世纪。
自上世纪以来这个问题就引起天文学家的注意，但得不到令人满意的解释。1915年爱因斯坦创立了广义相对论，此理论成功地预测了水星近日点的进动，且给出进动值为：
广义相对论：5600.92/''世纪
即在牛顿力学理论值基础上再附加43.03/''世纪
这是时空弯曲对平方反比率地修正引起地。由于此数值与观测结果十分接近，被看作是广义相对论建立初期地重大验证之一。
此外，广义相对论还比较好地解释谱线的红移和光线在太阳引力作用狭的偏转等现象。表明广义相对论的引力理论比经典的引力理论进了一步。
总之，经典的万有引力定律只能在一定条件狭反映引力规律的实际情况，即仅适用于弱场低速。
定量的标准：引力半径：2
2/g R GM c = C ——光速
G ——引力常量
M ——产生引力场的球体质量
若用R ——表示产生引力场的球体半径，则有： 当：
1g
R R
⇒牛顿万有引力定律
反之，则需应用广义相对论处理。 §6、3 引力势能 1、 引力势能
万有引力场是具有球对称性的有心力场，故，万有引力是保守力。所以可以计算万有引力势能
如图，静止质点：M
运动质点：m ， 0r r →
万有引力做功为：
A f d r =⎰保
3
GMm
f r r ⇓=-
2011
()r
r GMm A dr GMm r r r =-=-⎰
保 由势能定义：0p p E E A -=-保
取0
0p E =（两质点相距无穷远时的引力势能）
则将m 距M 为r 处的引力势能为：
0/0p E GMm r =-<
2、 宇宙速度
现用机械能守恒定律讨论宇宙速度问题。
第一宇宙速度：——物体成为一颗人造地球卫星所需的最低速度（相对地球而言） 第二宇宙速度：——物体摆脱地球引力成为太阳系中一颗人造行星所需的最低速度（相对地（脱离速度） 球而言）
第三宇宙速度：——物体摆脱太阳引力成为星际宇宙飞船所需的最低速度（相对地球而言） （逃逸速度）
①1?v =（地球——惯性系）
2117.9
v mg m v R =⇒=≈地
②2?v =
发射→圆轨道→椭圆→椭圆增大：抛物线
即112O v v v v v '→→>→=
此后的过程不再加速（火箭发动机关闭）仅在地球引力作用下运动
整个过程中，不考虑空气阻力，以及其它星球的作用，则：机械能守恒。
2
212M m E mv G E R +-=地k 地k 地地
（左边为系统的
机械能，右边为地球的动能）
此时，引力势能最大，为零。
0M m G r
→地
动能逐渐减小，0→
2M m
G R υ=地地
211.2/v Km s ∴=≈行星
也可用动能定理来处理此问题：
21
()2
A Fd r mv ==∆⎰
R 地
R mg
v
v
地球卫星v
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