万有引力与航天
一、求天体的质量(或密度）
已知一名宇航员到达一个星球，在该星 球的赤道上用弹簧秤测量一物体的重力为G1,在 两极用弹簧秤测量该物体的重力为G2,经测量该星球的半径为R,物体的质量为m.求:该星球的质量.
设星球的质量为M，物体在两极的重力等于万有引力，即 解得
卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得。若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度或线速度v，可求得中心天体的质量为
例、下列几组数据中能算出地球质量的是(万有引力常量G是已知的）（ ）
A.地球绕太阳运行的周期T和地球中心离太阳中心的距离r
B.月球绕地球运行的周期T和地球的半径r
C。月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r
D.月球绕地球运动的周期T和轨道半径r
[解析]要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量,而不能求出地球的质量，所以A项不对．已知月球绕地球运行的周期和地球的半径,不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以B项不对．已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由可以求出中心天体地球的质量，所以C项正确．由求得地球质量为，所以D项正确．
3。 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，，由此估算该行星的平均密度为（ D ）
A。1。8×103kg/m3 B。 5。6×103kg/m3 C。 1。1×104kg/m3 D。2。9×104kg/m3
解析：本题考查天体运动的知识.首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供,可求出地球的质量.然后根据，可得该行星的密度约为2。9×104kg/m3。
二、人造地球卫星的运动参量与轨道半径的关系问题
根据人造卫星的动力学关系
可得
由此可得线速度v与轨道半径的平方根成反比；角速度与轨道半径的立方的平方根成反比,周期T与轨道半径的立方的平方根成正比;加速度a与轨道半径的平方成反比．
例1、两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为,则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ ）
A。 B。
C。 D。
［解析]由可得卫星的运动周期与轨道半径的立方的平方根成正比，由可得轨道半径，然后再由得线速度。所以正确答案为C项．
例2、如图1所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R（R为地球半 径）.下列说法中正确的是( CD )
A.a、b的线速度大小之比是 ∶1 B。a、b的周期之比是1∶2
C.a、b的角速度大小之比是3 ∶4 D。a、b的向心加速度大小之比是9∶4
例3、发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道。发射场一般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图这样选址的优点是，在赤道附近 （ B )
A．地球的引力较大 B．地球自转线速度较大
C．重力加速度较大 D．地球自转角速度较大
解析:由于发射卫星需要将卫星以一定的速度送入运动轨道,在靠进赤道处的地面上 的物体的线速度最大,发射时较节能，因此B正确。
三、地球同步卫星问题
卫星在轨道上绕地球运行时，其运行周期（绕地球一圈的时间）与地球的自转周期相同，这种卫星轨道叫地球同步轨道，其卫星轨道严格处于地球赤道平面内，运行方向自西向东，运动周期为23小时56分（一般近似认为周期为24小时）,由得人造地球同步卫星的轨道半径,所以人造同步卫星离地面的高度为,利用可得它运行的线速度为3.07 km/s。总之，不同的人造地球同步卫星的轨道、线速度、角速度、周期和加速度等均是相同的．不一定相同的是卫星的质量和卫星所受的万有引力．人造地球同步卫星相对地面来说是静止的，总是位于赤道的正上空，其轨道叫地球静止轨道．
例、关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星，下述说法正确的是（D )
A。已知它的质量是1。24 t,若将它的质量增为2。84 t，其同步轨道半径变为原来的2倍
B。它的运行速度为7.9 km/s
C.它可以绕过北京的正上方，所以我国能利用其进行电视转播
D。它距地面的高度约为地球半径的5倍,所以卫星的向心加速度约为其下方地面上物体的重力加速度的
［解析]同步卫星的轨道半径是一定的，与其质量的大小无关．所以A项错误．因为在地面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星的速度近似等于7.9 km/ s，而卫星的线速度随轨道半径的增大而减小,所以同步卫星的线速度一定小于7.9 km/s,实际计算表明它的线速度只有3。07 km/s。所以B项错误．因同步卫星的轨道在赤道的正上方，北京在赤道以北，所以同步轨道不可能过北京的正上方．所以C项错误．同步卫星的向心加速度，物体在地面上的重力加速度，依题意，所。
四、求天体的第一宇宙速度问题
在其他的星体上发射人造卫星时，第一宇宙速度也可以用类似的方法计算，即，式中的M、R、g 分别表示某星体的质量、半径、星球表面的重力加速度．
例1、若取地球的第一宇宙速度为8 km/s,某行星的质量是地球质量的6倍,半径是地球的1。5倍，这顺行星的第一宇宙速度约为（ ）
A. 2 km/s B。 4 km/s C. 16 km/s D. 32 km/s
［解析］由得8 m/s，某行星的第一宇宙速度为
16 m/s
例2、如图是“嫦娥一号”奔月示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星,并开展对月球的探测.下列说法正确的是 ( C )
A。发射“嫦娥一号"的速度必须达到第三宇宙速度
B。在绕月圆轨道上,卫星周期与卫星质量有关
C。卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D。在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
解析 “嫦娥一号”要想脱离地球的束缚而成为月球的卫星，其发射速度必须达到第二宇宙速度,若发射速度达到第三宇宙速度,“嫦娥一号”将脱离太阳系的束缚，故选项A错误；在绕月球运动时,月球对卫星的万有引力完全提供向心力,则即卫星周期与卫星的质量无关,故选项B错误；卫星所受月球的引力,故选项C正确;在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力小于受月球的引力，故选项D错误。
五、人造卫星的变轨问题
发射人造卫星要克服地球的引力做功,发射的越高，克服地球的引力做功越多,发射越困难．所以在发射同步卫星时先让它进入一个较低的近地轨道（停泊轨道）A，然后通过点火加速,使之做离心运动，进入一个椭圆轨道（转移轨道）B，当卫星到达椭圆轨道的远地点时,再次通过点火加速使其做离心运动，进人同步轨道C。
例1、如图所示，轨道A与轨道B相切于P点，轨道B与轨道C相切于Q点，以下说法正确的是（ )
A。卫星在轨道B上由P向Q运动的过程中速率越来越小
B。卫星在轨道C上经过Q点的速率大于在轨道A上经过P点的速率
C。卫星在轨道B上经过P时的向心加速度与在轨道A上经过P点的向心加速度是相等
D.卫星在轨道B上经过Q点时受到地球的引力小于经过P点的时受到地球的引力
[解析]卫星在轨道B上由P到Q的过程中，远离地心，克服地球的引力做功，所以要做减速运动，所以速率是逐渐减小的，A项正确．卫星在A、C轨道上运行时，轨道半径不同，根据可知轨道半径越大，线速度小,所以有,所以B项错误．卫星在A、B两轨道上经过P点时,离地心的距离相等,受地球的引力相等，所以加速度是相等的，C项正确、卫星在轨道B上经过Q点比经过P点时离地心的距离要远些,受地球的引力要小些，所以D项正确．
例2.探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( A )
A。轨道半径变小 B.向心加速度变小 C。线速度变小 D.角速度变小
六、人造天体的交会对接问题
交会对接指两个航天器(宇宙飞船、航天飞机等）在太空轨道会合并连接成一个整体．空间交会对接技术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接．所谓交会是指两个或两个以上的航天器在轨道上按预定位置和时间相会,而对接则为两个航天器相会后在结构上连成一个整体．
例、关于航天飞机与空间站对接问题,下列说法正确的是（ ）
A。先让航天飞机与空间站在同一轨道上，然后让航天飞机加速，即可实现对接
B。先让航天飞机与空间站在同一轨道上，然后让航天飞机减速，即可实现对接
C.先让航天飞机进入较低的轨道，然后再对其进行加速，即可实现对接
D。先让航天飞机进入较高的轨道,然后再对其进行加速，即可实现对接
［解析]航天飞机在轨道运行时，若突然对其加速时,地球对飞机的万有引力不足以提供航天飞机绕地球做圆周运动的向心力,航天飞机就会做离心运动,所以选项A、B、D不可能实现对接。正确答案为C项。
七、双星问题
万有引力常量两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫做双星．双星中两棵子星相互绕着旋转看作匀速圆周运动的向心力由两恒星间的万有引力提供．由于力的作用是相互的,所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，因两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，线速度与两子星的轨道半径成正比．
例、两棵靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是( ）
A。它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比
B.它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比
C.它们做圆周运动的半径与其质量成正比 D.它们做圆周运动的半径与其质量成反比
［解析]两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等．由得线速度与两子星圆周运动的半径是成正比的．因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等,由可知,所以它们的轨道半径与它们的质量是成反比的．而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度与它们的质量也是成反比的．正确答案为B、D选项．
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