秦九韶之“三斜求積術”及海倫公式之《測量儀器》証明法
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秦九韶之“三斜求積術”及海倫
公式之《測量儀器》証明法
上傳書齋：瀟湘館112
何世強
HoSaiKeung
提要：本文主要談及秦九韶《數學九章?三斜求積》之術，即已知一三角
形之三邊，求其面積。秦九韶有公式求其積，此公式可演變為海倫
公式﹝Heron’sformula/Hero’sformula﹞。海倫公式海倫在其著作
《測量儀器》及《度量數》中作出證明，本文詳述其証明法。本文
尚涉及印度數學家婆什迦羅﹝Bhaskara﹞之求三角形面積法。
關鍵詞：秦九韶、數學九章、海倫公式、《測量儀器》、三斜求積、婆什
迦羅、麗羅娃蒂。
第1節秦九韶之三斜求積術
南宋數學家秦九韶著《數書九章》，又名《數學九章》，共九卷，每卷分上
下﹝或視之為十八卷﹞。秦九韶著此書於宋?淳祐七年（1247年）。
該書卷三上?有“三斜求積”之術，“三斜”即三邊不相等之三角形之三
邊，即今之所謂任意三角形。積，面積也。任意三角形最長之邊是為“大斜”，
中長之邊是為“中斜”，最短之邊是為“小斜”，此“三斜”為已知之數，今求
其面積。
此三角形如下圖所示：
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三斜圖
今設“大斜”為a，“中斜為c，“小斜為b；各邊所對應之角分別為A、
C及B。另外，AD垂直BC，AD高h，BD之長為q，DC長p，即q+p=a。
秦九韶之三斜求積術只用a、b及c。
其面積可從下式而得：
222222
24
1cbaba。以下為其現代數學証明法：
求三角形面積先從餘弦公式開始cosC=ab21(a2+b2–c2)。
ΔABC=21absinC
=21abC2cos1?
=21ab
22
2222
4)(1bacba韶
=
2
222222
4)(4cbaba
=
2
222222
2
)(41cbaba
=
222222
24
1cbaba。
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此即為秦九韶之求三角形面積公式，稱為“三斜求積”術。但秦九韶並非以
此法証明其式。此証明法不算複雜，但須明白何謂“餘弦公式”。