实验报告
课程名称：数学实验
实验名称：连续计息问题
实验目的、要求：
1．加深对极限、微分求导、极值等基本概念的理解。
2．讨论了微分学中的实际应用问题。
3．掌握MATLAB 软件中有关极限、级数、导数等命令。
实验仪器：
安装有MATLAB 软件的计算机
实验步骤：
一、实验内容
1．内容
三月结算一次，由于复利，储户存的10万元一年后可得10×(1＋r /44)万元，显然这比一
年结算一次要多，因为多次结算增加了复利。结算越频繁，获利越大。现在我们已进入电子商务时代，允许储户随时存款或取款，如果一个储户连续不断存款取款，结算本息的频率趋于无穷大，每次结算后将本息全部存入银行，这意味着银行要不断地向储户支付利息，称为连续复利问题。连续复利会造成总结算额无限增大吗？随着结算次数的无限增加，一年后该储户是否会成为百万富翁？
如果活期存款年利率为2.9%，那么一年、三年、十年定期存款的年利率就定为多少才是等价的？
2．一些基本概念
极限、连续、微分、导数、taylor 公式等。
3．求极限、导数和MATLAB 命令
求函数的极限，使用命令limit limit(F ,x ,a )返回符号表达式F 当x →a 时的极限；.
limit(F ,x ,a ,'right')返回符号表达式F 当x →a 时的右极限；
limit(F ,x ,a,'left')返回符号表达式F 当x →a 时的左极限。
求函数的导数和Taylor 展开式，可使用命令diff 、polyder 和Taylor
Y =diff(X )返回向量X 的差分；
Y =diff(X ,n )返回向量X 的n 阶差分；
diff(S ,'v')返回符号表达式S 对变量v 的导数；
diff(S ,'v',n )返回符号表达式S 对变量v 的n 阶导数；
k =polyder(p )返回多项式p 的导数；
k =polyder(a ,b )返回多项式a ×b 的导数；
r =taylor(f ,n ,v ,a )返回符号表达式f 关于变量v 在a 点处Taylor 展开到n 次式；有关上述命令的详细用法可查阅MATLAB 帮助。
二、实验结果
1．引例问题的分析求解
一般地，设储户结算结算频率为n ，年利率为r ，第k 次结算本息的结算额为k a ，那么可以得到下列差分方程
k a ＝)1(n
r +
1-k a ，0a ＝100000对上述差分方程化简，得n a ＝100000n n
r )1(+
随着结算次数的无限增加，即在上式中n →∞，故一年后本息共计：
∞→n lim 100000n
n r )1(+在MATLAB 命令窗口输入下述命令：
>>syms n
>>a=limit(100000*(1+0.029/n)^n,n,inf)
a =
1.0294e+005
可见，随着结算次数的无限增加，一年后本息总和将稳定于1.0294e+005元，储户并不能通过该方式成为百万富翁，实际上，年利率为r ，
>>syms n r
>>a=limit(100000*(1+r/n)^n,n,inf)
a =100000*exp(r)
一年结算无限次，总结算额有一个上限，即100000*exp(r)元，它表明在n →∞时，结果将稳定于这个值。
我们把连续活期存款利率作为连续复利率，0r ＝2.9%，设一年定期的年利率为r ，那么应有
1＋r ＝0
r ematlab求导
从而有r ＝0r e －1＝2.94%
同理，三年定期的年利率为
r ＝（03r e －1）/3＝3.03%
相应，十年定期的年利率为
r ＝（010r e －1）/10＝3.36%
一般情况下，银行的定期利率要更高，以鼓励长期定期存款。
2.练习题
本世纪初，瘟疫还常常在某些地区流行。现假设有这样一种传染病。任何人得病后，在传染期内不会死亡，且最初设有a 人患病，年平均传染率为k ，治愈率为i ，若一年内等时间间隔检测n 次，则一年后患病人数为多少？检测次数无限增加，一年后传染病人数会无限增加吗？
结果如下（程序，结果）：
解：一般地，设检测频率为n ，年平均传染率为k ，治愈率为i ，第r 次检测的患病人数为r a ，那么可以得到下列差分方程
r a ＝)1)(1(n i n k -+
1-r a ，0a ＝a 则一年后患病人数是a )1)(1(n i n k -+。对上述差分方程化简，得
n a ＝a n n k )1(+
n
n
i )1(-随着检测次数的无限增加，即在上式中n →∞，故一年后传染病人数为：
∞→n lim a n n k )1(+n
n i )1(-在MATLAB 命令窗口输入下述命令：
可见，随着检测的无限增加，一年后患病人数将稳定于exp(k)/exp(i)*a 人，它表明在n →∞时，结果将稳定于这个值。
假设传染率为0.005，治愈率为0.006，相应的MATLAB 代码为：
得出结果为：x =10000*exp(-1/1000)；x =15000*exp(-1/1000)；x =20000*exp(-1/1000)；x =25000*exp(-1/1000)；x =30000*exp(-1/1000)；
实验心得
通过本次实验，我们加深对极限、微分求导、极值等基本概念的理解，讨论了微分学中的实际应用问题，掌握MATLAB软件中有关极限、级数、导数等命令。
教师评语
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