习题4
1． 根据题给的模拟实际测量数据的一组和 试用数值差分diff或数值梯度gradient指令计算，然后把和曲线绘制在同一张图上，观察数值求导的后果。（模拟数据从prob_data401.mat获得）（提示：自变量采样间距太小。）
load prob_401;
N=20;
diff_y1=(diff(y(1:N:end)))./diff(t(1:N:end));
gradient_y1=(gradient(y(1:N:end)))./gradient(t(1:N:end));
t1=t(1:N:end);
length(t1)
plot(t,y,t1(1:end-1),diff_y1)
plot(t,y,t1,gradient_y1)
2． 采用数值计算方法，画出在区间曲线，并计算。（提示：cumtrapz快捷，在精度要求不高处可用；quad也可试。巧用find。）
d=0.5;
tt=0:d:10;
t=tt+(tt==0)*eps;
y=sin(t)./t;
s=d*trapz(y)
ss=d*(cumtrapz(y))
plot(t,y,t,ss,'r'),hold on
y4_5=ss(find(t==4.5))
yi=interp1(t,ss,4.5),plot(4.5,yi,'r+')
3． 求函数的数值积分，并请采用符号计算尝试复算。（提示：各种数值法均可试。）
d=pi/20;
x=0:d:pi;
fx=exp(sin(x).^3);
s=d*trapz(fx)
s1=quad('exp(sin(x).^3)',0,pi)
s2=quadl('exp(sin(x).^3)',0,pi)
s3=vpa(int('exp(sin(x)^3)',0,pi))
s4=vpa(int(sym('exp(sin(x)^3)'),0,pi))
4． 用quad求取的数值积分，并保证积分的绝对精度为。（体验：试用trapz，如何算得同样精度的积分。）
s1=quad('exp(-abs(x)).*abs(sin(x))',-5*pi,1.7*pi,1e-10)
s2=quadl('exp(-abs(x)).*abs(sin(x))',-5*pi,1.7*pi)
syms x;
s3=vpa(int(exp(-abs(x))*abs(sin(x)),-5*pi,1.7*pi))
d=pi/1000;
x=-5*pi:d:1.7*pi;
fx=exp(-abs(x)).*abs(sin(x));
s=d*trapz(fx)
matlab求导5． 求函数在区间中的最小值点。（提示：作图观察。）
x1=-5;
x2=5;
yx=inline('(sin(5*t)).^2.*exp(0.06*t.^2)-1.5.*t.*cos(2*t)+1.8.*abs(t+0.5)')
[xn0,fval]=fminbnd(yx,x1,x2)
t=x1:0.1:x2;
plot(t,yx(t)),hold on ,plot(xn0,fval,'r*')
6． 设，用数值法和符号法求。（提示：注意ode45和 dsolve的用法。）
tspan=[0,0.5];
y0=[1;0];
[tt,yy]=ode45(@DyDt_6,tspan,y0);
y0_5=yy(end,1)
S = dsolve('D2y-3*Dy+2*y = 1','y(0) = 1','Dy(0) = 0')
ys0_5=subs(S,0.5)
function ydot=DyDt_6(t,y)
mu=3;
ydot=[y(2);mu*y(2)-2*y(1)+1];
7． 已知矩阵A=magic(8)，（1）求该矩阵的“值空间基阵”B ；（2）写出“A的任何列可用基向量线性表出”的验证程序。（提示：方法很多；建议使用rref体验。）
A=magic(8)
B=orth(A)
rref(A)
rref(B)
8． 已知由MATLAB指令创建的矩阵A=gallery(5)，试对该矩阵进行特征值分解，并通过验算观察发生的现象。（提示：condeig）
A=gallery(5)
[V,D,s]=condeig(A)
[V,D]=eig(A)
cond(A)
jordan(A)
9． 求矩阵的解，A为3阶魔方阵，b是的全1列向量。（提示：用rref, inv, / 体验。）
A=magic(3)
b=ones(3,1)
x=A\b
x=inv(A)*b
rref([A,b])
10． 求矩阵的解，A为4阶魔方阵，b是的全1列向量。（提示：用rref, inv, / 体验。）
A=magic(4)
b=ones(4,1)
x=A\b
xg=null(A)
11． 求矩阵的解，A为4阶魔方阵，。（提示：用rref, inv, / 体验。）
A=magic(4)
b=(1:4)'
rref([A,b])
x=A\b
A*x
x=inv(A)*b
12． 求的实数解。（提示：发挥作图法功用）
y_C=inline('-0.5+t-10.*exp(-0.2.*t).*abs(sin(sin(t)))','t');
t=-10:0.01:10;
Y=y_C(t);
plot(t,Y,'r'),hold on
plot(t,zeros(size(t)),'k');
xlabel('t');ylabel('y(t)')
zoom on
[tt,yy]=ginput(1),zoom off
[t1,y1]=fzero(y_C,tt)
[t2,y2]=fsolve(y_C,tt)
13． 求解二元函数方程组的解。（提示：可尝试符号法解；试用contour作图求解；比较之。此题有无数解。）
S=solve('sin(x-y)=0','cos(x+y)=0','x','y')
S.x, S.y
14． 假定某窑工艺瓷器的烧制成品合格率为0.157，现该窑烧制100件瓷器，请画出合格产品数的概率分布曲线。（提示：二项式分布概率指令binopdf；stem）
y = binopdf([0:100],100,0.157);
stem(1:length(y),y)
axis([0 length(y) 0 .12 ])
15． 试产生均值为4，标准差为2的的正态分布随机数组 a ， 分别用hist和histfit绘制该数组的频数直方图，观察两张图形的差异。除histfit上的拟合红线外，你能使这两个指令绘出相同的频数直方图吗？（提示：为保证结果的重现性，在随机数组a产生前，先运行 rng default指令；可使用指令normrnd产生正态分布随机数；理解hist(Y, m)指令格式。）
a=normrnd(4,2,10000,1);
hist(a)
histfit(a)
hist(a,sqrt(10000))
16． 从数据文件prob_data416.mat得到随机数组R，下面有一段求取随机数组全部数据最大值、均值和标准差的程序。
Mx=max(max(R)),Me=mean(mean(R)),St=std(std(R)),
试问该程序所得的结果都正确吗？假如不正确，请写出正确的程序。（提示：load；R(:)。）
load prob_416;
Mx=max(max(R))
Me=mean(mean(R))
St=std(R(:))
17． 已知有理分式，其中，。（1）求该分式的商多项式和余多项式。（2）用程序验算是否成立。（提示：采用范数指令norm验算。）
format rat
NX=conv([3,0,1,0],[1,0,0,0.5]), DX=conv([1,2,-2],[5,2,0,1])
[q,r]=deconv(NX,DX)
cq='商多项式为  ';cr='余多项式为  ';
disp([cq,poly2str(q,'s')]),disp([cr,poly2str(r,'s')])
qp2=conv(q,DX), pp1=qp2+r, pp1==NX
18． 现有一组实验数据x, y（数据从prob_data418.mat获得），试求这组数据的5阶拟合多项式。（提示：load, polyfit, polyval）
load prob_418, who,x
P=polyfit(x,y,5), Pt=poly2str(P,'t')
xx=-1:0.01:4, yy=polyval(P,xx), plot(xx,yy,x,y,'*r')
legend('拟合曲线','原始曲线','Location','SouthEast')
19． 已知系统冲激响应为h(n)=[0.05,0.24,0.40,0.24,0.15,-0.1,0.1] ，系统输入u(n)由指令rng default;u=2*(randn(1,100)>0.5)-1产生，该输入信号的起始作用时刻为0。试画出类似图p4-1所示的系统输入、输出信号图形。（提示：注意输入信号尾部的处理；NaN的使用。）
图 p4-1
h=[0.05,0.24,0.40,0.24,0.15,-0.1,0.1]
randn('state',1);
u=2*(randn(1,100)>0.5)-1;
y=conv(u,h);
subplot(2,1,1),stem(u,'filled')
axis([0 length(y) -1 1 ])
subplot(2,1,2),stem(y,'filled')
axis([0 length(y) -1 1 ])