学生姓名 *** 班级 ******* 学号 ***********
任课教师 *** 上机时间 2019 年 11月 5 日， 报告完成 2019 年 11月 6 日
1．实验目的：
做功计算
重物在力F(x)的拖动下，从x的起始点到最后点的移动过程中，力的大小及角度都是变化的，数据如表所示，试完成以下任务。
节点序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
x/m | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
F（x）/kN | 0.0 | 9.0 | 13.0 | 14.0 | 10.5 | 12.0 | 5.0 | 8.0 | 9.0 |
角度/rad | 0.50 | 1.40 | 0.75 | 0.90 | 1.30 | 1.48 | 1.50 | 1.10 | 0.80 |
任务 2.1：试计算所做的功（数值积分实验）
（1）分别采用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式计算，并进行比较（参考程序2.1a）。
（2）先对数据点进行多项式回归，再用int函数进行积分计算，并比较（参考程序2.1b）。
任务 2.2：试计算力在位移方向的变化率（数值微分实验）
（1）基于给定的数据点，利用三点插值求各点处的导数（参考程序2.2）。
2．计算方法：针对实验任务，结合课堂内容，说明解决方法，如：采用何种理论，列出相关公式，说明计算步骤，写出程序框图等；
任务2.1：数值积分
计算原理：
梯形公式
辛普森公式
柯特斯公式
（n=4，即五个节点时）
流程图：
任务2.2：数值微分
计算原理（三点插值）：
已知三个节点上的函数值,则
流程图：
3．程序设计：根据前面提到的计算方法编写程序；写出程序代码，并结合计算方法对程序中关键步骤进行必要的文字说明；
代码：
任务2.1：数值积分
%数据输入
clear;
xi=[0 5 10 15 20 25 30 35 40];
a=xi(1);
b=xi(end);
h=b-a;
Fi=[0;9;13;14;10.5;12;5;8;9];
Th=[0.5;1.4;0.75;0.9;1.3;1.48;1.5;1.1;0.8];
%(1)
%求x方向分力大小
for i=1:length(xi)
P(i)=Fi(i)*cos(Th(i));
end
%梯形公式，两个求积节点
T=[0.5;0.5];%（系数）
I1=h*(T(1)*P(1)+T(2)*P(9));%（梯形公式）
%辛普森公式，三个求积节点
S=[1/6;2/3;1/6];%（辛普森公式系数）
I2=h*(S(1)*P(1)+S(2)*P(5)+S(3)*P(9));%（辛普森公式）
%柯特斯公式，五个求积节点
C=[7/90;16/45;2/15;16/45;7/90];%（柯特斯公式系数）
I4=h*(C(1)*P(1)+C(2)*P(3)+C(3)*P(5)+C(4)*P(7)+C(5)*P(9));%（柯特斯公式）
%显示结果
I=[I1;I2;I4]
%(2)多项式回归，再用int函数积分计算
Ya=polyfit(xi,P,2);%（2次多项式回归）
Yb=polyfit(xi,P,3);%（3次多项式回归）
Yc=polyfit(xi,P,4);%（4次多项式回归）
%构造回归多项式函数形式
syms x
La=Ya(1)*x^2+Ya(2)*x+Ya(3);%（构造2次多项式函数）
Lb=Yb(1)*x^3+Yb(2)*x^2+Yb(3)*x+Yb(4);%（构造3次多项式函数）
Lc=Yc(1)*x^4+Yc(2)*x^3+Yc(3)*x^2+Yc(4)*x+Yc(5);%（构造4次多项式函数）
%积分计算
Ia=int(La,a,b);
Ib=int(Lb,a,b);
Ic=int(Lc,a,b);
%显示计算结果
II=[vpa(Ia);vpa(Ib);vpa(Ic)]%（将分数转化为小数输出）
任务2.2：数值微分
%数据输入
clear;
xi=[0 5 10 15 20 25 30 35 40];%（间隔为空格）
a=xi(1);
b=xi(end);
Fi=[0;9;13;14;10.5;12;5;8;9];
Th=[0.5;1.4;0.75;0.9;1.3;1.48;1.5;1.1;0.8];
n=length(xi);
%主体程序
for i=1:n
yi(i)=Fi(i)*cos(Th(i));
end
R=zeros(n,2);%（建立一个9*2的矩阵）
%矩阵R的第一列记为点的序数
for i=1:n
R(i,1)=i;
end
%三点插值求导，导数值记入R矩阵的第二列中
matlab求导for i=1:n
if i==1
R(i,2)=(-3*yi(i)+4*yi(i+1)-yi(i+2))/(xi(i+2)-xi(i));%（第一个点的导数）
else if i==n
R(i,2)=(yi(i-2)-4*yi(i-1)+3*yi(i))/(xi(i)-xi(i-2));%（最后一个点的导数）
else
R(i,2)=(yi(i+1)-yi(i-1))/(xi(i+1)-xi(i-1));%（中间点的导数）
end
end
end
%输出结果
R
4．结果分析：给出计算结果（可用数值、图表、曲线表示），并进行分析；
任务2.1：数值积分
由输出结果可以看出，梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式的计算结果相差较大
而2、3、4次多项式回归后再积分的结果相差较小，其中2、3次回归结果相差几乎可以不计。
任务2.2：数值微分
由微分结果可以看出，力在位移方向上整体呈现先增加再减小再增加的情况，
5．其他：说明实验中发现的问题及办法，个人体会、收获、思考等。
在列公式计算之前，先将系数储存在一个数组中，方便检查程序。
在多项式回归部分，直接输出结果为分数，使用vpa函数转化为小数输出，方便比较。
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