最大公因数和最小公倍数应用的典型例题和专题练习（三）
[典型例题]
例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可 以有几米？一共可以截成多少段？
分析与解：
解答：
（18、24、30）＝6
（18+24+30）÷6＝12段
答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。
分析与解：
要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形 边长一定是60和36的最大公因数。
解答：
（36、60）＝12
（60÷12）×（36÷12）＝15个
答：正方形的边长可以是12厘米，能截15个正方形。
分析与解：
要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。
解答：
（1）最多可以做多少个花束（96、72）＝24
（2）每个花束里有几朵红玫瑰花96÷24＝4朵
（3）每个花束里有几朵白玫瑰花72÷24＝3朵
（4）每个花束里最少有几朵花4+3＝7朵
分析与解：
这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。
解答：
［5、10、6］＝30
答：最少过30分钟再同时发车。
例5、某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？
分析与解：
安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序
每人每小时完成零件个数的最小公倍数。
解答：
（1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？［3、12、5］＝60
（2）第一道工序应安排多少人60÷3＝20人
（3）第二道工序应安排多少人60÷12＝5人
（4）第三道工序应安排多少人60÷5＝12人
例6、有一批机器零件。每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个？
分析与解：
每12个放一盒，就多出11个，就是说，这批零件的个数被12除少1个；每18个放一盒，就少1个，就是说，这批零件的个数被18除少1；每15个放一盒，就有7盒各多2个，多了2×7＝14个，应是少1个。也就是说，这批零件的个数被15除也少1个。
解答：
如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数。
1、刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个［12、18、15］＝180
2、在300至400之间的180的倍数是多少180×2＝360
3、这批零件共有多少个360-1＝359个
例7、公路上一排电线杆，共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？
分析与解：
不需要移动的电线杆，一定既是45的倍数又是60的倍数。要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。
解答：
1、从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？［45、60］＝180（米）
2、公路全长多少米？45×（25-1）＝1080（米）
3、可以有几根不需要移动？1080÷180+1＝7（根）
例8、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
分析与解：
根据“两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。”先求出4与252的乘积，再用积去除以28即可。
4×252÷28=1008÷28=36
专题练习
1. 有24个苹果，32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？
2. 数学兴趣小组有24个男同学，20个女同学，现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？
3. 有38支铅笔和41本练习本平均奖给若干个好少年，结果铅笔多出3支，练习本还缺1本。得奖的好少年有多少人？
4. 有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？
5. 市场是20路和21路汽车的起点站。20路汽车每3分钟发车一次，21路汽车每5分钟发车一次。这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？
6. 中心小学五年级学生，分为6人一组，8人一组或9人一组排队做早操，都刚好分完。这个年级至少有学生多少人？
7. 五年级学生参加植树活动，人数在30~50之间。如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？
8. 有一个数，用4、 5、 6去除，都能整除，这个数最小是多少？
9、一些小朋友做游戏，第一次分组每组4人余下2人，第二次每组5人也余下2人，第三次分组每组6人还是余下2人。问最少多少名小朋友做游戏？
10、一间浴室长1.8米，宽1.44米。现在要给浴室地面铺满整块的正方形瓷砖，正方形瓷砖的边长最长是多少厘米？
11、有一袋水果糖，8块8块数多5块;6块6块数多3块；4块4块数多1块。这代水果糖最少有多少块？
一个数被3除余1，被6除余4，被8除余6。这个数最小是几？
12、王老师买回一些练习本，如果平均分给5个班则多出3本，如果平均分给6个班则多出4本。已知这些练
习本在80——100本之间，你知道王老师买了多少本练习本？
13、工人师傅买了一块长方体木块，体积是693立方分米，只知道它的长、宽、高分别相差2分米，你能求出
长、宽、高各是多少分米吗？
例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？
分析与解：
截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。
解答：
（18、24、30）＝6
（18+24+30）÷6＝12段
答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。
例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的
面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？
分析与解：
不一定需要糖和玫瑰要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形 边长一定是60和36的最大公因数。
解答：
（36、60）＝12
（60÷12）×（36÷12）＝15个
答：正方形的边长可以是12厘米，能截15个正方形。
例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？
分析与解：
要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。
解答：
（1）最多可以做多少个花束（96、72）＝24
（2）每个花束里有几朵红玫瑰花96÷24＝4朵
（3）每个花束里有几朵白玫瑰花72÷24＝3朵
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