庞加莱猜想
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庞加莱猜想电脑三维模型
庞加莱猜想是法国数学家提出的一个猜想,是悬赏的(七个千年大奖问题)之一。2006年被确认由俄罗斯数学家最终证明,但将解题方法公布到网上之后,佩雷尔曼便拒绝接受马德里国际数学联合会声望颇高的。
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庞加莱猜想图示
令人头疼的世纪难题
缘起
  如果我们伸缩围绕一个表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“的”,而轮胎面不是。大约在一百年以前,已经知道,球面本质上可由单连通性来刻画,他提出(中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。
职业女装
  一位史家曾经如此形容1854年出生的(Henri Poincare):“有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的,每次看到亨利,我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为的伟大,并不完全在于他解决了多少问题,而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想,就是其中的一个。
  1904年,庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的的:在一个中,假如每一条封闭的都能收缩到一点,那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发现提法中有错误,并对之进行了修改,被推广为:“任何与n维球面的n维封闭流形必定于n维球面。”后来,这个猜想被推广至三维以上空间,被称为“高维庞加莱猜想”。
猜想的简单比喻
  如果你认为这个说法太抽象的话,我们不妨做这样一个想象:
吃什么立刻通便
  我们想象这样一个房子,这个空间是一个球。或者,想象一只巨大的足球,里面充满了气,我们钻到里
庞加莱猜想
面看,这就是一个球形的房子。
  我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的,非常结实,没有窗户没有门,我们现在在这样的球形房子里。拿一个气球来,带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以(其实对这个气球是有要求的)。这个气球并不是瘪的,而是已经吹成某一个形状,什么形状都可以(对形状也有一定要求)。但是这个气球,我们还可以继续吹大它,而且假设气球的皮特别结实,肯定不会被吹破。还要假设,这个气球的皮是无限薄的。
  好,现在我们继续吹大这个气球,一直吹。吹到最后会怎么样呢?庞加莱先生猜想,吹到
最后,一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住,中间没有缝隙。
  我们还可以换一种方法想想:如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点;
  另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。
  为什么?因为,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。
  看起来这是不是很容易想清楚?但数学可不是“随便想想”就能证明一个猜想的,这需要严密的和。一个多世纪以来,无数的科学家为了证明它,绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。
艰难的证明之路
七个“千禧难题”
  2000年5月24日,美国克莱数学研究所的科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“”(又称)
之一,这七道问题被研究所认为是“重要的经典问题,经许多年仍未解决。”克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金,每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。另外六个“千年大奖问题”分别是: , (Hodge), (Riemann),(Yang-Mills),(Navier-Stokes,简称),(Birch and Swinnerton-Dyer)。
沉珂的照片
  提出这个猜想后,庞加莱一度认为自己已经证明了它。但没过多久,证明中的错误就被暴露了出来。于是,拓扑学家们开始了证明它的努力。
靴袜早期的证明
  20世纪30年代以前,庞加莱猜想的研究只有零星几项。但突然,英国数学家(Whitehead)对这
庞加莱猜想
个问题产生了浓厚兴趣。他一度声称自己完成了证明,但不久就撤回了论文,失之桑榆、收之东隅。但是在这个过程中,他发现了三维流形的一些有趣的特例,而这些特例,现在被统称为怀特海流形。
  30年代到60年代之间,又有一些著名的数学家宣称自己解决了庞加莱猜想,著名的(R.Bing)、(Haken)、莫伊泽(Moise)和帕帕奇拉克普罗斯(Papa-kyriakopoulos)均在其中。
  帕帕奇拉克普罗斯是1964年的维布伦奖得主,一名希腊数学家。因为他的名字超长超难念,大家都称呼他“”(Papa)。在1948年以前,帕帕一直与数学圈保持一定的距离,直到被邀请做客。帕帕以证明了著名的“迪恩引理”(Dehn's Lemma)而闻名于世,喜好舞文弄墨的数学家约翰•米尔诺(John Milnor)曾经为此写下一段打油诗:“无情无义的迪恩引理/每一个拓扑学家的天敌/直到帕帕奇拉克普罗斯/居然证明得毫不费力。”
  然而,这位聪明的希腊拓扑学家,却最终倒在了庞加莱猜想的证明上。在普林斯顿大学流
传着一个故事。直到1976年去世前,帕帕仍在试图证明庞加莱猜想,临终之时,他把一叠厚厚的手稿交给了一位数学家朋友,然而,只是翻了几页,那位数学家就发现了错误,但为了让帕帕安静地离去,最后选择了隐忍不言。
柳暗花明的突破
  这一时期拓扑学家对庞加莱猜想的研究,虽然没能产生他们所期待的结果,但是,却因此发展出了低维拓扑学这门学科。
  一次又一次尝试的失败,使得庞加莱猜想成为出了名难证的数学问题之一。然而,因为它是拓扑研
庞加莱猜想
究的基础,数学家们又不能将其撂在一旁。这时,事情出现了转机。
  1966年得主斯梅尔(Smale),在60年代初想到了一个天才的主意:如果三维的庞加莱猜想难以解决,的会不会容易些呢?1960年到1961年,在里约热内卢的海滨,经常可以看到一个人,手持草稿纸和铅笔,对着大海思考。他,就是斯梅尔。1961年的夏天,在基辅的非线性振动会议上,斯梅尔公布了自己对庞加莱猜想的和五维以上的证明,立时引起轰动。
  10多年之后的1983年,美国数学家福里德曼(Freedman)将证明又向前推动了一步。在工作的基础上,他证出了四维空间中的庞加莱猜想,并因此获得菲尔茨奖。但是,再向前推进的工作,又停滞了。
  拓扑学的方法研究三维庞加莱猜想没有进展,有人开始想到了其他的工具。瑟斯顿(Thruston)就是其中之一。他引入了几何结构的方法对三维流形进行切割,并因此获得了1983年的菲尔茨奖。
  “就像,当谷山志村猜想被证明后,尽管人们还看不到具体的前景,但所有的人心中都有数了。因为,一个可以解决问题的工具出现了。”清华大学数学系主任说。
最后的决战
  然而,庞加莱猜想,依然没有得到证明。人们在期待一个新的工具的出现。可是,解决庞加莱猜想的工具在哪里?
  工具有了。
  理查德•汉密尔顿,生于1943年,比丘成桐大6岁。虽然在开玩笑的时候,丘成桐会戏谑地称这位有30多年交情、喜欢冲浪、旅游和交女朋友的老友“Playboy”,但提起他的数学成就,却只有称赞和惺惺相惜。
  1972年,和合作,发展出了一套用非线性微分方程的方法研究几何结构的理论。丘成桐用这种方法证明了,并因此获得菲尔茨奖。1979年,在的一个讨论班上,当时是数学系教授的丘成桐见到了汉密尔顿。“那时候,汉密尔顿刚刚在做Ricci流,别人都不晓得,跟我说起。我觉得这个东西不太容易做。没想到,1980年,他就做出了第一个重要的结果。”丘成桐说,“于是我跟他讲,可以用这个结果来证明庞加莱猜想,以及三维空间的大问题。”
  Ricci流是以意大利数学家(Gregorio Ricci)命名的一个。用它可以完成一系列的拓扑手
术,构造几何结构,把不规则的变成规则的流形,从而解决三维的庞加莱猜想。看到这个方程的重要性后,丘成桐立即让跟随自己的几个学生跟着汉密尔顿研究Ricci流。其中就包括他的第一个来自中国大陆的学生。
  第一次见到曹怀东,是在超弦大会丘成桐关于庞加莱猜想的报告上。虽然那一段时间里,几乎所有的媒体都在曹怀东,但穿着件颜鲜艳的大T恤的他,在会场里走了好几圈,居然没有人认出。这也难怪。绝大多数的数学家,依然是远离公众视线的象牙塔中人,即使是名动天下如威滕(Witten),坐在后排,俨然也是大隐隐于市的模样。
  1982年,曹怀东考取丘成桐的博士。1984年,当丘成桐转到加州大学圣迭戈分校任教时,曹怀东也跟了过来。但是,他的绝大多数时间,是与此时亦从康奈尔大学转至圣迭戈分校的汉密尔顿“泡在一起”。这时,丘成桐的4名博士生,全部在跟随汉密尔顿的研究方向。其中做得最优秀的,是施皖雄。他写出了很多非常漂亮的论文,提出很多好的观点,可是,因为个性和环境的原因,在没有拿到大学的终身教职后,施皖雄竟然放弃了做数学。提起施皖雄,时至今日,丘成桐依然其辞若有憾焉。一种虽然于事无补但惹人深思的假设是,如果,当时的施皖雄坚持下去,关于庞加莱猜想的故事,是否会被改写?
  在使用Ricci流进行空间变换时,到后来,总会出现无法控制走向的点。这些点,叫做。如何掌握它们的动向,是证明三维庞加莱猜想的关键。在借鉴了丘成桐和李伟光在非线性微分方程上的工作后,1993年,汉密尔顿发表了一篇关于理解奇点的重要论文。便在此时,丘成桐隐隐感觉到,解决庞加莱猜想的那一刻,就要到来了。
  与其同时,地球的另一端,一个叫的数学家在花了8年时间研究这个足有一个世纪的古老数学难题后,将3份关键论文的手稿在2002年11月和2003年7月之间,粘贴到一家专门刊登数学和物理论文的网站上,并用电邮通知了几位数学家。声称证明了几何化猜想。到2005年10月,数位专家宣布验证了该证明,一致的赞成意见几乎已经达成。
  “如果有人对我解决这个问题的方法感兴趣,都在那儿呢—让他们去看吧。”佩雷尔曼博士说,“我已经发表了我所有的算法,我能提供给公众的就是这些了。”
  佩雷尔曼的做法让克雷数学研究所大伤脑筋。因为按照这个研究所的规矩,宣称破解了猜想的人需在正规杂志上发表并得到专家的认可后,才能获得100万美元的奖金。显然,佩雷尔曼并不想把这100万美金补充到他那微薄的收入中去。
  对于佩雷尔曼,人们知之甚少。这位伟大的数学天才,出生于1966年6月13日,他的天分使他很早就开始专攻和。16岁时,他以优异的成绩在1982年举行的中摘得金牌。此外,他还是一名天才的小提琴家,桌球打得也不错。