第15讲对应与比较 |
同学们，你们打扑克牌时玩过“拖拉机”吗？就是两个人轮流出牌，将出的牌拉成一列，当一个人出的牌与前面的某张牌数字相同时就可以把这两张相同的牌中间的牌全收到自己的手里，最后谁的手中没有牌谁就输了。这个游戏就是利用两张牌数字的对应来玩的。其实对应在日常生活中有着广泛的应用，如到剧院里看戏，一张票号对应一个座位；一个人对应着一个身份证号，这个身份证号将跟随他一生，成为他身份的证明；现在用信用卡的人越来越多，为了安全起见，每张信用卡都与一个卡号和一个密码相对应；还有在比较两种东西的多少时，可以分开来数，也可以运用对应来计数，尤其是对数目较大，无法靠数来解决的问题。如比较自然数和偶数谁多谁少？有的同学肯定立即会说“当然是自然数多，因为偶数是自然数的一部分”。其实问题没有这么简单，请看下面的对应关系：
自然数 | 1 | 2 | 3 | 4 | …… | n | …… |
偶数 | 2×1 | 2×2 | 2×3 | 2×4 | …… | 2×n | …… |
从上表的对应来看，偶数并不比自然数少，有一个自然数就会有一个与之相对应的偶数。像这样用对应的思想方法解题，在数学研究中有着重要的作用。
所谓“对应”，就是要在两类事物间建立某种联系，以实现未知向已知的转化。所谓“比较”，指的是两种或两种以上的事物辨别异同或高下。在解答应用题的过程中，主要是比较数量的多少或者比较两个量之间的倍数关系。对应法与比较法是两种重要的思想方法，在解题过程中经常联系起来用。
例1两根同样长的绳子，第一根用去46米，第二根用去19米，第二根剩下的米数正好是第一根的4倍。求绳子原长几米？
分析：通过读题可知“所剩米数第二根正好是第一根的4倍”，根据题意画图：
从图中可以看出，将第一根绳子所剩的米数看作1份，第二根所剩下的米数看作4份，这时两根绳子相差46－19=27米，通过比较可以看出，它对应的是4－1=3份。出数与量的对应关系，就能解决问题了。
解答：（46－19）÷（4－1）＋安以轩老公前妻46=55（米）
答：绳子原长55米。
说明：此题中所给的两条绳子原来一样长，因此用去绳长的差就是剩下的绳长的差。
例2两筐桔子，如果从甲筐拿出8只放入乙筐，两筐桔子就同样多；如果从乙筐拿出13只放入甲筐，甲筐的桔子数是乙筐的2倍。求甲、乙两筐原来各有桔子多少只？
分析：通过题中所给的条件“从甲筐拿出8只放入乙筐，两筐桔子就同样多”可知，原来甲筐桔子数比乙筐多8×2=16只，再从乙筐拿出13只放入甲筐，这时甲乙两筐桔子数的差就增加了13×2=26只，通过下面的线段图可以比较得出这时甲筐比乙筐多得1倍就与16＋13＋13相对应。从而可以求出现在乙筐中桔子的只数。因此可以解题。
解答：
现在乙筐有桔子：（8×2＋13×2）÷（2－1）=42（只）
乙筐原有桔子：42＋13=55中国蹦极的地方（只）
甲筐原有桔子：55＋16=71（只）
答：甲筐原有桔子71只，乙筐原有桔子42只。
说明：此题的解题关键是在对应的数量之前一定要确定两筐的数量之差。即一个量减少一个数，另一个量增加一个相同的数，那么它们的差扩大（或缩小）了两倍的这个数。此题中正逆两次用到了这个结论。
例3画展9点开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达的时间是8点几分？
分析：设1分钟1个入口进的人数为1个单位，则3个入场口9分钟仅27个单位，5个入口5分钟仅25个单位的人。那么9－5=4分钟对应的新来人为27－25=2个单位，每分钟来的人数为2÷4=0.5个单位，27个单位对应的时间是：27÷0.5=54（分）。所以第一个观众来的时间就可以确定了。
解答：（3×9－5×5）÷（9－5）=0.5
27÷0.5=54（分）
60－（54－9）=15（分）
答：第一个观众是8点15分到达的。
说明：这是一道“牛吃草”问题，在上一讲刚刚讲过。“牛吃草”问题就是用对应的方法解答的。
分析：8名乒乓球运动员要决出单打冠军，其比赛场次的统计可按比赛进行程序进行。通常淘汰赛按下表进行：即第一轮分成4队进行比赛，胜者进行第二轮比赛，再分成2队进行比赛。第二轮的胜者进行第三轮的比赛。最后，由第三轮的胜者决出冠军。共比赛了4＋2＋1=7（场）
不过这样计算是比较麻烦的。运用对应的方法，问题的解决就变得简单多了。淘汰赛表示每赛一场就要淘汰一名运动员，而且只能淘汰一名。这表明一场比赛与淘汰一名运动员可建立“一对一”的对应关系。换句话说，淘汰多少名运动员就恰好进行多少场比赛。
解答：8名运动员进行淘汰赛，要有7名选手被淘汰才能决出冠军，所以一共要比赛7场。
说明：使用对应法解题时，一定要明确问题中的两类对象是否一一对应，并指出一一对应的方法。
例5一个边长为3厘米的正方体至少要锯几次才能得到27个边长为1厘米的小正方体？（允许把各次得到的木块任意的叠起来锯）
分析：不管怎样锯，总有一个小立方体原来是完全位于大立方体内部。这个小立方体有6个面。每锯一次至多使它有一个面暴露在外面。因此，至少要锯6次才能使这个小立方体露出全部的6个面，锯木头的次数也就不能少于6次了。
解答：将边长为3厘米的立方体横锯两次，纵锯两次，竖锯两次，就可以得到27个边长为1厘米的小正方体。这样每锯一次就和大正方体内部的一个小正方体的6个面的一个面相对应。因此至少锯6次才能达到要求。
说明：例4、例5都是计数问题，在直接计数遇到困难时，可以抓住问题的本质特征，利用既易计数又与被数对象存在着一一对应的对应对象进行计数，转而得到我们欲得到的结果。这是对应的一种重要的应用。
例6数3可以用四种方法表示为槐花怎么保存时间长1个或几个数的和，如3可以表示成3；1＋2；2＋1；1＋1＋1。试问1999可以用多少种类似于上面的方式表示出来？
分析：我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号。例如3，上述四种和的表达方法对应于：111；11＋1；1＋王学圻老婆11；1＋1＋1。显然，在1999表示成和的形式与在1998个空隙处填写“＋”号一一对应，因此就将原题转化为“在1998个空隙处填写‘＋’号有多少种方法？”。而在每个空隙处都有填与不填两种可能。
解答：将1999表示成一个或几个数的和的形式有
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世界数学最高奖
从1896年开始，每年一度的诺贝尔物理、化学、生理学和医学奖，表彰了这几个学科中的重大成就，获奖的科学精英，可谓举世瞩目。诺贝尔奖于1901年又设立了诺贝尔经济学奖。数学作为一个重要的基础学科，在各个高科技领域都发挥着重要的作用，但诺贝尔却没有设立数学奖。
这是为什么呢？其原因说法不一，比较流行的说法是：在诺贝尔立遗嘱期间，瑞典最有声望的数学家是莱福勒，如果设立了数学奖，莱福勒很有可能成为第一名获奖者，但是，诺贝尔很不喜欢他。
不设诺贝尔数学奖，使这个重要的基础学科失去了一个在世界范围内评价重大成就和杰出人才的机会，显然有失公允。于是，数学领域的世界性奖励，每四年颁发一次的菲尔兹将应运而生。在数学家眼里，菲尔兹奖所带来的荣誉完全可以和诺贝尔奖媲美。
菲尔兹奖是一枚金质奖章和1500美元，奖章上有希腊数学家阿基米德的头像，并且用拉丁文镌刻上了“超越人类极限，做宇宙主人”的格言。菲尔兹奖与诺贝尔奖的10万美金相比微不足道，但对于各国的数学家来说，能获得菲尔兹奖是一生中最高的荣誉。菲尔兹奖是由数学界的国际学术团体——国际数学联盟，从全世界一流的数学家中遴选的，就国际性与权威性而言，任何其他的奖项都无法与之相比。菲尔兹奖获得者的工作代表着当今数学发展的主流。
练习题
1．一个植树小组植树，如果每人栽5棵，还剩12棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。这个植树小组有多少人？一共要栽多少棵树？
分析与解答：摘列条件如下：
每人栽5棵，还剩12棵
每人栽7棵，就缺4棵
通过比较，根据对应数量的变化，可以看出，由于每人栽的数相差了（7－5）棵，则所栽树的总数就相差了（12＋4）棵。根据对应列式为：
植树组有：（12＋4）÷（7－5）=8（人）
共栽树：5×8＋12=52（棵）
答：这个小组共有8人，共植树52棵。
2．4头牛和3匹马每天吃草90公斤，8头牛和2匹马每天吃草140公斤。每头牛和每匹马每天各吃多少公斤草？
分析与解答：摘录条件：
4头牛3匹马每天吃草90公斤
8头牛2匹马每天吃草140公斤
比较条件，三个量都在变化，看不出它们之间的关系。我们把条件1的每个量都相应的扩大2倍，进行转化后再比较：
8头牛6匹马每天吃草180公斤
8头牛2匹马每天吃草140公斤
通过相对应量的对比可知，180公斤与140公斤的差正是6匹2匹马每天多吃的。因此可以求出每匹马每天吃多少草。
每匹马每天吃草：（90×2－140）÷（3×2－2）=40÷4=10（公斤）
每头牛每天吃草：（90－10×3）÷4=15（公斤）
答：每头牛每天吃草15公斤，每匹马每天吃草10公斤。
3．两桶重量相等的油，从甲桶中取出12千克，给乙桶增加14千克，这时乙桶的油是甲桶的3倍。求甲乙两桶原有油多少千克？
分析与解答：两桶油原来的重量相等，由于“从甲桶中取出12千克，给乙桶增加14千克”后，两桶油就相差黄秋葵的做法12+24=36千克，正好与乙桶比甲桶多的2倍相对应，因此：
甲桶现有油：（12+24）÷（3－1）=18（千克）
甲桶原有油：18+12=30（千克）
答：甲乙两桶原有油30千克。
4．甲、乙两个粮仓原来共存粮170吨，后来从甲仓运出30吨，给乙仓运进10吨，这时甲仓存粮是乙仓存粮的2倍。求甲、乙粮仓原来各有粮食多少吨？
分析与解答：根据题意可知现在两个粮仓共存粮170－30+10=150吨，又知“这时甲仓存粮是乙仓存粮的2倍”，把这时乙仓存粮的吨数看作1份，甲仓存粮的吨数是2份，则一共存粮的吨数就是1+2=3份，正好与150吨相对应，因此：
现在乙仓存粮：（170－30+10）÷（1+2）=50（吨）
原来乙仓存粮：50－10=40（吨）
原来甲仓存粮：170－40=130（吨）
答：原来甲仓存粮130吨，乙仓存粮40吨。
5．原来女工人数是男工人数的3倍，今年将30名女工换成男工，女工仍比男工多10名。原来男、女工各多少人？
分析与解答：根据题意画出线段图：
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