什么是自然数
正实数是什么意思
    正实数，亦称正实函数、正实值函数或有效数字，在数学中与反实数对应。指一个集合内所有元素均为正实数的整体，也即是一个完备实数集合。有时会用“正整数”这种称呼来取代之前的术语，因为正整数只能由自然数构成，而且还可以被进一步划分成若干子集。例如1至10的正整数，其中2和3没有平方根；4和6既没有质因数又没有相同因子，但它们仍然被称作正整数。实际上，正实数也包括了实数轴上的绝大多数实数，无限的非零实数都是正实数。这些数都属于实数集合的一部分。从本质上讲，任何非零的实数都可以看做是某个大于0的实数加上正实数的商。然而很少有人知道，当这样去想象时会导致错误的结果：实数集并不总是有限集。
    实数集合论的核心问题是实数大小。一个给定的数是否比它更大（或更小）？为此，我们提出了著名的阿列夫－阿尔维斯塔斯定理。阿列夫–阿尔维斯塔斯定理断言：实数集是可数的。虽然很容易就证明，但要到满足以下条件的正整数集却十分困难：（1）每个正整数均为其他正整数的倍数，这意味着在整个实数集上，存在奇点；（2）每个正整数除以2的余数均为1/2，这意味着每个正整数的平方等于其他正整数的平方之和，换句话说，整个实数集上处处
余弦；（3）每个正整数除以2的幂次等于4，即，2的幂为整个实数集的高度。事实上，所有真实数的倒数之和必然为正整数，因此必须在实数集外定义另一个正整数集合。为了满足阿列夫-阿尔维斯塔斯定理的第三个假设，新数集必须在正整数集的基础上再加上一项额外的正整数。尽管该公式已经得到公认，但还未达到完全确定的程度。为了将上述推理扩展到所有大于或等于1的实数，阿列夫-阿尔维斯塔斯定理需要加入一个限制条件：即正整数不仅是某些特殊正整数的倍数，而且是正整数自身的倍数。正实数是最终得到的数字。最后，当我们谈及超越数时，我们必须把“所有实数”替换为“正实数”。然而，这种替换依赖于实数集中的所有正实数。通过使用阿列夫–阿尔维斯塔斯定理，我们可以证明阿列夫猜想：所有超越数都具有正实数对应物。实数大小只是现代数学家研究的一类重要的数。几乎所有现代数学的概念、运算法则、理论都和实数密切相关。很早以前，古希腊人和古印度人就开始了关于实数系统的探索工作。而实数集的完备性则直接决定了我们今天可以采用什么样的形式表示数据。