不需要证明履行合同的相关法律规定：
一、中华人民共和国民事诉讼法第七十一条：民事诉讼证据规则
人民法院对当事人的陈述，应当结合本案的其他证据，审查确定能否作为认定事实的根据。当事人拒绝陈述的，不影响人民法院根据证据认定案件事实。
中华人民共和国民事诉讼法释义第七十一条
当事人陈述，指当事人在诉讼中就有关案件的事实情况向法院所作的陈述。包括对案件事实的陈述和对案件事实的承认。
二、中国证据法《证据规则》第八条规定：
自认必须发生在诉讼过程中；自认是一方当事人对另一方当事人陈述的案件事实的承认；自认必须是明确表示的；自认必须具有合法性。
关于民事诉讼证据的若干规定释义：第八条
【自认规则】诉讼过程中，一方当事人对另一方当事人陈述的案件事实明确表示承认的，另一方当事人无需举证。但涉及身份关系的案件除外。
对一方当事人陈述的事实，另一方当事人既未表示承认也未否认，经审判人员充分说明并询问后，其仍不明确表示肯定或者否定的，视为对该项事实的承认。
三、《关于民事诉讼证据的若干规定》第七十六条
当事人对自己的主张，只有本人陈述而不能提出其他相关证据的，其主张不予支持。但对方当事人认可的除外。  
根据以上法条看诉讼中的自认有如下效力：（1）免除事实主张的一方当事人的举证责任；（2）对自认的一方当事人具有拘束力；（3）对法院具有拘束力。尤其《关于民事诉讼证据的若干规定》第七十六条明确规定“但对方当事人认可的除外”即当时人认可的免除事实主张乙方当事人的举证责任。
此案，我方主张对方拖欠我方运费仓储费，被申请人对拖欠我方运费的事实完全承认，只是金额上存有争议。综上所述，对于对方承认的事实我方可以免除举证责任。
《关于民事诉讼证据的若干规定》第六十四条
审判人员应当依照法定程序，全面、客观地审核证据，依据法律的规定，遵循法官职业道德，运用逻辑推理和日常生活经验，对证据有无证明力和证明力大小独立进行判断，并公开判断的理由和结果。