湖南省益阳市2019年普通初中学业水平考试
数  学
本试卷满分150分,考试时间120分钟.
一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.的倒数是                                                        （  ）
A.                    B.                C.                D.6
2.下列运算正确的是                                                    （  ）
A.                            B.
C.                        D.
3.下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是                                （  ）
A
B
C
D
4.解分式方程时，去分母化为一元一次方程，正确的是    （  ）
A.                            B.
C.                        D.
5.下列函数中，y总随x的增大而减小的是                                （  ）
A.                                B.
C.                            D.
6.已知一组数据5，8，8，9，10，以下说法错误的是                    （  ）
A.平均数是8                            B.众数是8
C.中位数是8                            D.方差是8
7.已知M、N是线段AB上的两点，，，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则一定是                                                    （  ）
A.锐角三角形                            B.直角三角形
C.钝角三角形                            D.等腰三角形
8.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图1，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为，大桥主架的顶端D的仰角为，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此时大桥主架顶端离水面的高CD为                                    （  ）
A.                        B.
C.                        D.
9.如图2，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是                        （  ）
A.                            B.
C.                            D.AB平分PD
10.已知二次函数的图象如图3所示，下列结论：①，②，③，④，正确的是                                （  ）
A.①②            B.①④                C.②③                D.②④
二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分.请将答案填在答题卡中对应题号的横线上）
11.国家发改委发布信息，到2019年12月底，高速公路电子不停车快捷收费（ETC）用户数量将突破1.8亿，将180 000 000用科学记数法表示为    .
12.若一个多边形的内角和与外角和之和是，则该多边形的边数是    .
13.不等式组的解集为    .
14.如图4，直线，，若，则    度.
15.在如图5所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，的顶点都在格点上，将绕点O按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是    .
16.小蕾有某文学名著上、中、下各1册，她随机将它们叠放在一起，从上到下的顺序恰好为“上册、中册、下册”的概率是    .
17.反比例函数的图象上有一点，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则    .
18.观察下列等式：
①，
②，
③，
…
请你根据以上规律，写出第6个等式    .
三、解答题(本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
益阳在线19.（本小题满分8分）
计算：.
20.（本小题满分8分）
化简：.
21.（本小题满分8分）
已知，如图6，，，，，求证：.
22.（本小题满分10分）
某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数（含驾驶员）进行了随机调查，根据每车乘坐人数分为5类，每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为A、B、C、D、E，由调查所得数据绘制了图7所示的不完整的统计图表.
类别
频率
A
m
B
0.35
C
0.20
D
n
E
0.05
（1）求本次调查的小型汽车数量及m，n的值；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若某时段通过该路段的小型汽车数量为5 000辆，请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量.
23.（本小题满分10分）
如图8，在中，M是斜边AB的中点，以CM为直径作圆O交AC于点N，延长MN至D，使，连接AD、CD，CD交圆O于点E.
（1）判断四边形AMCD的形状，并说明理由；
（2）求证：；
（3）若，，求BC的长.
24.（本小题满分10分）
为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾·稻”轮作模式.某农户有农田20亩，去年开始实施“虾·稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润=售价-成本）.由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元.