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a < 0 a > 0 第 18 讲
等差数列
1.等差数列的定义式：a n  − a n –1 = d  (n ≥ 2)
2．等差数列的通项公式：a n  = a 1 + (n − 1)d
3. 等差数列的前 n 项和：S n  ＝
(a 1+a n ).n
, S  2
= na 1 +
n (n –1).d
2
4. 等差中项：若 a,A,b 成等差数列，则 A 叫做a 与b 的等 差中项．A = a +b  2
或2A = a + b （叫算术平均数） 5. 等差数列的性质
（1）若m + n = p + q ，则a m  + a n  = a p  + a q 特别地，若m + n = 2p ，则a m  + a n  = 2a p  （2）在等差数列{a n }中，S m , S 2m  − S m , S 3m  − S 2m ,  S 4m  − S 3m  …成等差数列.(片段和成等差) 6.方程的思想：
对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出 a 1，d . 如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，d ，n ，S n 的“知三求二”问题． 这体现了用方程的思想解决问题．
7. 三个数成等差数列，则设这三个数为：x − d, x, x + d 8. 函数的观点看等差数列
（1） 若数列{a n }的通项公式为n 的一次函数，即a n  = kn + b (k,b 是常数)，则{a n }是等差数列．公差 d = A （2） 若数列{a n }的前 n 项和S n 是S n  = An 2 + Bn 的形式(A ，B 是常数)，则{a n }为等差数列． 公差d = 1 A
(3) 在等差数列{a n }中，若d > 0，则数列{a n }是递增数列，若d < 0，则数列{a n }是递减数列，
（4） 在等差数列{a n }中，a 1 > 0, d < 0，则S n 存在最大值；若a 1 < 0, d > 0，则S n 存在最小
值． 9．求等差数列前 n 项和S n 最值的两种方法
(1) 函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式S n  = An 2 + Bn ，
通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求
解． (2)邻项变号法：单考单招
①当a 1 > 0, d < 0时，满足{ a m ≥ 0
的项数 m 使得S n 取得最大值为S m
m+1 ②当a 1 < 0, d > 0时，满足{ a m ≤ 0
的项数 m 使得S n 取得最小值为S m
m+1
一．选择题：本大题共 15 小题，每小题 5 分，满分 75 分.
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.等差数列 1，4，7，……的第六项是
（ ）
A.9
B.10
C.13
D.16
n
2.在数列{a n}中,a1 = 2, 3a n− 3a n–1 = 1，则a100 =  ( )
A.34
B.35
C.36
D.37
3.在下列通项公式所表示的数列中，不是等差数列的是( )
A,a n= lg2n    B. a n = 12    C.a n  = 2n − 9    D.a n = n2 − n
4.(04T7)已知12 是x 和9 的等差中项，则x= ( )
A.17
B.15
C.13
D.11
5.(19T11)若等差数列{a n}的前n 项和S n = n2 + a (a ∈ R)  , 则a= ( )
A.－1
B.    2
C.1
D.0
6.(11T5)在等差数列{a n}中, 若a6 = 30, 则a3 + a9 = ( )
A.20
B.40
C.60
D.80
7.(09T14)设S n为等差数列{a n}的前n 项和，且a3 + a7 = 10，则S9 =（）
A.45
B.50
C.55
D.90
8.(05T6)在等差数列{a n}中，已知a4=−1,a7=8，则首项a1与公差d为（）
A.a1  = 10, d = 3
B. a1= −10, d = 3
C. a1 = 3, d = −10
D. a1  = 3,    d = 10
一个人的快乐，不是因为他拥有的多，而是因为他计较的少
9.(03T4)等差数列a1, a2, a3, … a k的和为81，若a2+ a k–1= 18，则k=（）
A.7
B.8
C.9
D.10
10.(00T13)在等差数列中，已知前11 项的和等于33，
则a2 + a4 + a6 + a8 + a10 =( )
A.12
B.15
C.16
D.20
11.设等差数列{a n}的前n 项和为S n，已知S3＝3，S6＝12，则S9 =（）
A.27
B.30
C.36
D.39
12.已知数列{a n}为等差数列，且a1 = 2,  a2 + a3 = 13，则a4 + a5 + a6 =（）
A.45
B.43
C.42
D.40
13. 已知等差数列{a n}中，a3 + a7− a10＝0，a11− a4＝4，
则{a n}的前13 项和S13＝（）
A.78
B.68
C.56
D.52
14.(99T13)等差数列{a n}中，已知a1 > 0，设S n为数列的前n 项和，
如果S9 > 0,  S10 < 0, 那么当S n取最大值时n=（）
A.9
B.7
C.5
D.4
15.已知数列{a n}的前n 项和S n = n2 − 9n，第k 项满足5 < a k < 8，则k= ( )
A.9
B. 8
C. 7
D.6
相见时难别亦难，东风无力百花残。春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干。
二.填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，满分 25 分.
16.已知等差数列{a n}的前n 项和S n= 4n2 − n，则公差d=
17.(16T16)已知{a n}为等差数列，且a4 + a8 + a10 = 50，
则a2 + 2a10=
18.(13T19)已知{a n}为等差数列，且a1 + a3 = 8，a2 + a4 = 12，
则a n =
19.(07T16)在等差数列{a n}中，已知a2 = 3, a5 = 12，
则{a n}的前n 项和S n =
20.已知数列{a n}的通项公式为a n= −4n + 24，记其前n 项和为S n,
则使S n取得最大值的项数n=
一个人的快乐，不是因为他拥有的多，而是因为他计较的少
第18 讲等差数列答案
一、选择题：
二、填空题：
相见时难别亦难，东风无力百花残。春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干。