泛
判断题：
(1) 设X 是线性赋范空间，X 中的单位球是列紧集，则X 必为有限维。√ (2) 距离空间中的列紧集都是可分的。√
(3) 若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。× (4) 任何一个Hilbert 空间都有正交基。×
(5) 设X 是线性赋范空间，T 是X →X 的有界线性算子，若T 既是单射又是
满射，则T 有逆算子。× (6) 设X 是线性赋范空间，若X 与X *同构，则X 必是完备的。√ (7) 设X 是Hilbert 空间，T 是线性算子，满足()(),,,,Tx y x Ty x y X =∈，则
()T L X ∈。√
(8) 设M X ⊆是线性赋范闭子空间，若0x M ∉，则一定存在f X *∈，使
()
000,,1M
f
f x x f ===。×
(9) 设X 是Banach 空间，T 是X 上线性算子，如果()D T 是X 中的闭集且
在X 中稠密，则T 有界。√
(10) 设{}n a l ∞⊆，定义2l 上的算子T 为{}(){}n n n T a ξξ=，则(){}p n T a σ=。√
1.设X 是有限维赋范空间，试证：X 上任意两个范数都是等价范数。
证明：令()()1212
,,,X X X X =∙=∙
，显然必存在有一个范数较强，不
妨假设存在一个M>0，使得21x M x ≤。取单位算子()12,I L X X ∈，这时有21Ix M x ≤，故I 是有界线性算子，显然I 是单射，满射，由逆算子定理可知，I 存在逆算子1I -，且有界，因而1121
I x I x --≤，所以12,∙∙等价。
2.设X 是有限维赋范空间，试证：X 中弱收敛等价于按范数收敛。
证明：显然，在X 中按范数收敛的序列一定是弱收敛。
另一方面，取{}01,n n x X x X ∞
=⊆∈，使得0w n x x −−→，即对于任意的T X *∈使
得0lim n n Tx Tx →∞
=。假若{}n Tx X ⊆，不按X 的范数收敛，即存在{}n Tx X ⊆中
的一个子列{}
k n Tx 使得，存在00ε>，有00k n Tx Tx ε-≥。然而，在有限维空间X 中，由于{}1n n x ∞
=弱收敛，进而{}1n n x ∞
=有界，所以有n n Tx T x ≤<+∞，
即{}n Tx X ⊆为列紧集，故存在y X ∈，使得0lim lim k n n n k y Tx Tx Tx →∞
→∞
===，这与
00y Tx ε-≥矛盾，所以假若{}n Tx X ⊆按X 的范数收敛。
综述X 中弱收敛等价于按范数收敛。
3.定义2l 上的算子S 为()()1212,,,,0,,,,,n n S x x x x x x =    ，试证S 有左逆但无右逆。
证明：定义2l 上的算子H 为()()1223,,,,,,,,n n H x x x x x x =    ，显然
有()()()121212,,,,0,,,,,,,,,n n n HS x x x H x x x x x x ==      ，所以H 为S 的左逆算子。
另一方面，假设S 存在右逆算子T ，使得ST=I （其中I 为单位算子）。取
2x l ∈使得(){}12,,,,01;1,2,n i x x x x x i ===  或 ，显然1x <，这时
sup I ST STx ST x ST I ==≤<=，矛盾。所以S 没有右逆算子。
4.设X ，Y 是Banach 空间， :T X Y →是有界线性算子，满足()()1R T Y =；（2）存在0m >，使得对任意x X ∈有Tx x ≥，试证；T 有有界逆1T -，且
11
T m
-≤
。 证明：由条件1可以知道T 为满射。令{}ker 0T x Tx ==则有0Tx m x =≥，这时x=0，所以kerT={0}，从而T 为单射。由逆映射定理可以T 存在逆映射1T -，易求11T m
-≤
。
5.设X 是线性赋范空间，{}1n n x ∞
=是X 中线性无关的序列，试证：存在{}n f X *⊆，使得1n f =且()
10n k n k f x n k =⎧=⎨≠⎩。
证明：令()()1211,,,,,,,i i i n i i i X L x x x x x d x X ρ-+==  。显然i X X ⊆，由
Hanna-Banach 定理可知：存在i f X *∈，使得()()1,0,i i i i i i f f X f x d ===。取i
i i f f d =
，得1n f =且()10n k n k f x n k
=⎧=⎨≠⎩。
6.设()0,t a b ∈，定义[]()1,C a b 上的泛函为()()0F f f t '=，
()
()(){},max ,x a b f f x f x ∈'=。试证[]()1
,F C a b *
⎡⎤∈⎣⎦。
证明：任取[]()1,;,,R f g C a b αβ∈∈，有
()()()()()()()000F f g f g t f t g t F f F g αβαβαβαβ'''+=+=+=+
且()0F f t f '=≤，所以[]()1
,F C a b *
⎡⎤∈⎣⎦。
7.若X 是自反空间，弱收敛与弱*收敛等价。
证明：显然在X 中，弱收敛强于弱*收敛。假设序列{}1,n n f X f X ∞
**=⊆∈，
有w
n f f *
−−→。这时，对于任意的x X ∈，由于X 是自反空间，存在x x X ****=∈，使得()()()lim lim n n n n x f f x f x **→∞→∞
==，即w n f f −−→。从而弱*收
敛强于弱收敛。综上所述，弱收敛与弱*收敛等价。