莆
期末考试试卷
（A）卷
2010
—— 2011  学年第
1
学期
泛
课程名称：
泛函分析
适用年级 / 专业
07
数学
试卷类别 ：开卷（√）闭卷（
）  学历层次：  本科
考试用时：
120  分钟
《考生注意：答案要全部抄到答题纸上，做在试卷上不给分
》
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．
一、 填空题（每小题  3 分，共 15 分）
%
是度量空间， T 是 X 到 Y 中的映射， x0
X ,
1.  设 X = ( X , d) ， Y = (Y, d)
如果 _________________________________________________则,称 T 在 x0 连续。
2.设 X 和 Y 是两个赋范线性空间，  T 是 X 到 Y 中的线性算子，如果  _______________,
则称 T 是 X 到 Y 中的无界线性算子。
3.
设 X 是赋范线性空间，
称为 X 的 Hilbert 空间。
4.
设 M 是 Hilbert 空间 X 中的规范正交系， 若___________________________________
则称 M 是 X 中的完全规范正交系。
5.
设 X 是赋范线性空间，  X 是 X 的共轭空间，泛函列
f n    X (n
1,2,L ) ，如果
则,称点列
f n  弱 * 收敛于  f 。
二、计算题（ 20 分）
叙述 l1 空间的定义，并求  l 1 上连续线性泛函全体所成的空间？  。
三、证明题（共
65 分）
1 、（ 14
分） 设 C[0,1] 表示闭区间  [0,1] 上连续函数全体
， 对任何  x, y  C[0,1]
，令
d ( x, y)
1
y(t ) | dt , 证明 ( x, d ) 成为度量空间。
| x(t)
0
n
2、（12 分）证明 Rn 按范数 || x ||  max | i  | 组成的赋范线性空间  X 与 Rn 按范数 || x ||
|  i  |
i
i
1

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组成的赋范线性空间    Y 共轭。
3、（ 15 分）设 X 是可分 Banach 空间， M 是 X 中的有界集，证明 M 中每个点列含有一个弱 * 收敛子列
4、（ 12 分）设 H 是内积空间， M 为 H 的子集，证明 M 在 H 中的正交补是  H 中的闭线
性子空间。
5、（12 分）    若 T 为 Banach 空间 X 上的无界闭算子， 证明 T 的定义域至多只能在    X 中
稠密。

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