浅谈Hahn-Banach泛函延拓定理及其应用
1 引言
在函数论中，我们曾经考虑把一些函数从原来的定义域括充出去的问题，例如解析函数的解析开拓，在代数上有域的扩张等等.在泛函分析中，为了使得对于任意的线性空间，其上存在非零的有界线性泛函，其简化的方法自然使我们想到了前面所说的“延拓”的方法，既在内某一子空间上定义一个有界线性泛函，而且还能够使其延拓为整个上的有界线性泛函.
引理 设是复赋范线性空间上的有界线性泛函，令，则是上的有界实线性泛函.
（注意：所谓实线性，是指可加性以及对任何实数，有且）
2 Hahn-Banach泛函延拓定理
2.1 Hahn-Banach泛函延拓定理的几种形式
定理1（赋范线性空间上的Hahn-Banach泛函延拓定理）
设是赋范线性空间的子空间，是定义在上的有界线性泛函，则可以延拓到整个上且保持范数不变，即存在定义在上的有界线性泛函，使下列性质成立：
（1）对任一，有；
（2）.（这里表示作为上的有界线性泛函的范数）
定理2（实线性空间上的Hahn-Banach泛函延拓定理）假设
（1）是“实”线性空间，是“实”线性子空间；
（2）是泛上的“次加法、正齐性”泛函，是定义在子空间上的（实）线性泛函，
并且满足，那么，必定存在定义在整个空间上的（实）线性泛函，其满足：
（ⅰ），；
（ⅱ）.
(并且，称为在全空间上的“延拓”)
定理3（复线性空间上的Hahn-Banach泛函延拓定理）假设
（1）是“复”线性空间，是 内一“复”线性子空间；
（2）是上的“次加法、对称”泛函，是定义在上的线性泛函，
并且满足条件.那么，存在一个定义在整个空间上的线性泛函，其满足：
（ⅰ），；
（ⅱ），.
定理4（Hahn-Banach定理的几何形式）
设是实空间上以为内点的真凸子集，又设，则必存在一个超平面分离与.
定理5（Hahn-Banach定理的推广）
设是实线性空间，是上的实值线性泛函，使得且当.又设是子空间S上的线性泛函，使得任意再设是上的线性算子所成的半（既）使得当时，任意且对所有的那么存在在上的延拓，使得
2.2 Hahn-Banach定理的一些推论
推论1 设是赋范线性空间的子空间，，若则存在上的有界线性泛函，使.而对，则有.
推论2设是赋范线性空间的子空间，，若
则存在上的有界线性泛函，使得，而对，则有.
推论3 设是赋范线性空间，且，则对任一，，存在上的有界线性泛函，使得.
3 Hahn-Banach泛函延拓定理的若干应用
例1 设=，即是点的全体，但规定，按此范数成为赋范线性空间.又设，是定义在上的连续线性泛函:.
证明 对任何数，上的连续线性泛函
都是的保范延拓.
证明 显然是上的连续线性泛函，而且
即.然而，对任何数，上的连续线性泛函
都是的延拓.由于
并且
所以只要，都是的保范延拓.
例2 考察一切二维实向量按照范数构成的巴拿赫空间.仍用记这
个空间并令为中形如的向量构成的子空间.在上定义有界线性泛函：
再定义上的有界线性泛函：
且.证明 是的延拓.
证明 显然.任取满足的数，再由上的有界线性泛函：
易见是的延拓，且，又因
故，于是.因此是的延拓，且满足.
例3 赋范线性空间为一致凸的，是指对任给，存在，只要
就有.证明
(ⅰ) C[a，b]不是一致凸的;
(ⅱ) L[a，b]，都不是一致凸的;
(ⅲ) 在一致凸空间中，若 弱收敛于，且，则强收敛于.
证 （ⅰ）在C[a，b]中，取，则
设，则，但
故C[a，b]不是一致凸的.
（ⅱ）在L[a，b]中，取
则
设，则，但，，故L[a，b]不是一致凸的.
在中，取，则
而
故也不是一致凸的.
（ⅲ）证法1 设为一致凸空间，，且
我们要证明(强收敛)，设不然，则存在及，使
不妨设，据一致凸性，存在，使
又根据Hahn-Banach泛函延拓定理，存在，使
但
矛盾，故.
证法2 不妨设首先容易证明，若
则
现在，则
即
故．
例4 设是巴拿赫空间中的一个点列，则对于每个，收敛的充要条件是存在正数，使对一切自然数以及任意的，有
．
证 必要性：令
，
则，且
另一方面，据Hahn-Banach泛函延拓定理，存在，使
发布评论