06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案
1. 设是上的实值连续函数， 则对于任意常数， 是一开集, 而总是一闭集.  (15分)
证明 (1) 先证为开集.  (8分)
    证明一 设，则，由在上连续，知，使得时,， 即
,
故为的内点。 由的任意性可知,是一开集.
    证明二  可表为至多可数的开区间的并（由证明一前半部分)， 由定理可知为开集.
(2) 再证是一闭集。 （7分)
    证明一  设, 则是的一个聚点， 则中互异点列使得
.    ………………………..2分
由知， 因为连续, 所以
，
即.……………………………………………………………………………………6分
由的任意性可知,是一闭集. …………………………………7分
证明二  对, ，……………………… 5分
知,为闭集。 …………………………………………………… 7分泛
证明三  由(1）知，为开集， 同理也为开集,
所以闭集， 得证。
2。 证明Egorov定理：设是上一列收敛于一个有限的函数的可测函数, 则对, 存在子集, 使在上一致收敛， 且 （15分）
证明  任选一列自然数，与此相应作的子集
则必在上一致收敛于。
事实上，对，选使则当时,对一切
都有
.    ……………………… 6分
所以, ， 若能适当的选取, 使, 则令即可.
利用引理， . 故对任给的, 对
, ,使得
，
取所以在上一致收敛.且……………………………………… 12分
……………………………。 15分
结论得证.
3．证明勒贝格控制收敛定理：设
（1） 是可测集上的可测函数列;
（2) 于，=1，2,…，在上可积分；
(3） ，
则在上可积分，且 。 （15分)
证明
证明一  由于,根据Rieze定理，存在子列 a.e.收敛于.
由于于，从而于，得于。因为可积,可得到在上是可积的，且每个在上是可积的. …………… 。.2分
下证。我们分两步证明:
    （1） 先设。对任何，因为在上可积，由勒贝格积分的绝对连续性,知存在,使当且时有
. …………………………… .。4分
又因为，所以存在,使当时有
，
其中。所以当时,
，………….………………… 。。6分
因此
＝
                  =
                   
                   
                    = …………………………。……….………………… ..9分                               
这就证明了当时,成立
。
（2)设。因在上可积，由非负可测函数积分的定义 知对任何，存在
，使得
，
所以
=
                                    。.……………… .11分
另一方面,在上的可测函数列满足：
于，
（从）,
故在上利用（1)的结论（从(1）有，所以由，得），知存在正整数，使当时,
,……………..……………… 。13分
（注意: 上一步若直接由（1）得到亦正确)
因此
                 
                 
                  ……………。.………………………………………… 。15分
证毕。
证明二  由及黎斯定理 ，存在子列 a。e.收敛于.
因为
于，
所以
于,
因此
于。
由可积,得到每个和都是L可积的. ………………………………… .2分
因为在E上可积，即，所以,存在，
使得   
,
因此
=
                                    。…………………6分
由绝对连续性,,使得，时,有
,
对此，由（在上,从而在上）,所以存在,使得当时，
,……………………10分
当时,记=,所以从,有
。
因为
，
所以当时   
=
≤
＝＋＋
（)
≤＋2＋2
＜
＝.…………………………………………………………………………。.。.。.。。.。。...。。。..15分
这证明了。
4．证明康托尔(Cantor）集合的测度为零。  (10分）
证明
证明一  Cantor集，……….。.。.。.。..。.。。。。.。.。4分
所以
…………………..。。....。。。.....8分