关于兔子数列（斐波那契数列）的小学奥数试题
 数学中有一个以斐波那契的名字命名的著名数列：
    　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……
你看出是什么规律了吧，不错，就是
从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。
 这个数列是斐波那契在
他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密切的联系。
除此以外，人们从很多地方也发现了这类数列。如：茉莉花（3个花瓣），毛莨（5个花瓣），翠雀（8个花瓣），万寿菊（13个花瓣），紫宛（21个花瓣），雏菊（34、55或89个花瓣）。
这些花的花瓣数恰好构成斐波那契数列中的一串数。 
 
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式。 
有关兔子数列的小学奥数题：
1、　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…… 第2014项除以5的余数是几？
2、　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…… 一共2014项，其中奇数个数比偶数个数多还是少，差几个？
3、  如果你爬10级台阶，每次可以爬1级或者2级，一共有几种走法？
4、假定一对刚出生的小兔一个月能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。如果一切正常没有死亡，公母兔也比例适调，那么一对刚出生的兔子，一年可以繁殖成（  ）对兔子。
A.144           B.233          C.288          D.466
 
5、1，3，4，7，11，（    ）
A.14        B.16        C.18        D.20
6.4，9，15，26，43，（    ）
A.68       B.69       C.70        D.71
7.2，4，6，9，13，19，（    ）
A.28         B.29         C.30         D.31
8.
1，3，5，9，17，31，57，（）
A.105         B.89           C.95           D.135
因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
两个月后，生下一对小兔对数共有两对
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对
－－－－－－
依次类推可以列出下表：
幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那就是：前面相邻两项之和，构成了后一项。
必然还是巧合：
1.斐波那契数与植物花瓣
百合和蝴蝶花有3个花瓣，蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花有5个花瓣，翠雀花有8个花瓣，金盏和玫瑰有13个花瓣，紫宛有21个花瓣，这些花瓣数都是斐波那契数列中的数。
2.黄金分割
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887..…
自然数
也就是说 55/89，89/144，144/233，233/377，这些比值是越来越接近0.618
组合数学：
有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?
分析：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……这就是一个斐波那契数列：
所以我们列出斐波那契数列，1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，第10个数是89，所以有89种不同的走法。
取豆子游戏：
游戏是这样的：有一堆豆子,两个人轮流从其中取走一定的豆子,取走最后所有豆子的人为赢家,不过得遵循如下规则:
1.第一次取不能取完,至少取1颗.
2.从第二次开始,每个人取的豆子数至少为1,至多为对手刚取的豆子数的两倍。
掌握了斐波那契数列，就能让我们在游戏中百战百胜
先给出结论：当n为斐波那契数时，先手必败
举几个例子：
①当有2颗豆子时，先手只能取一颗，先手必败
②当有3颗豆子时，先手不能取3颗，只能取1或2。
若取1，则后手取2，先手败；
若取2，则后手取1，先手败。
③当有5颗豆子时，先手只能取1,2,3,4,。
若取1，则后手取1，留3颗豆子，此时情况又回到3颗豆子的情况，先手败；
若取2，则后手可直接取3，先手败；
若取3,4，则后手都可一次取光，先手败。
④当有8颗豆子时，先手为了不让对手一次取光，只能取1,2,3,颗豆子
若取1，则后手取2，留给对方5颗豆子，此时情况又回到3颗豆子的情况，先手败；
若取2，则后手取1，留给对方5颗豆子，此时情况又回到3颗豆子的情况，先手败；
若取3，则后手可以一次性取光，因为按照规定取不超过6颗豆子即可，先手败。
其他情况同理，方法就是只要让留出斐波那契数的豆子让对方取，就可保证胜利。
第二个结论：当n不为斐波那契数时，先手必胜
这个就不需要过多解释了，因为先手可以先拿出几颗，给对方留出斐波那契数的豆子即可。
事实上关于斐波那契数列的知识还有很多，比如杨辉三角，质数数量，尾数循环 ，数列与矩阵，斐波那契弧线等等。我们就不一一列举了，希望大家有兴趣我们在一起探讨。
最后又两个趣题，可以给身边的朋友们出一出
1.某人回家需要走一个11级台阶，每一步只能跨一级或两级，要登上这个台阶有几种不同的走法?
2.有10颗豆子，两个人轮流从其中取走一定的豆子,取走最后所有豆子的人为赢家,不过得遵循如下规则:
1.第一次取不能取完,至少取1颗.
2.从第二次开始,每个人取的豆子数至少为1,至多为对手刚取的豆子数的两倍。
你准备先取还是后取？第一次你要取几颗？
对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1。如此进行直到为1时操作停止。问：经过11次操作变为1的数有多少个?
该问题属于斐波那契数列问题，解题思路可化为以下3道题目，关于斐波那契数列及其被用来炒股的事在文章末尾有介绍。
题目一（简单）
对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1。如此进行直到为1时操作停止。问：经过4次操作变为1的数有多少个?
题目一：
答：3个。
反推：
经过1次操作变为1的数是2，有1个；
经过2次操作变为1的数即为经1次操作变为2的，是4，有1个；
经过3次操作变为1的数即为经1次操作变为4的，是3或8，有2个；
经过4次操作变为1的数即为经1次操作变为3或8的，是6、7或16，有3个。
题目二(中等难度)
对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1。如此进行直到为1时操作停止。问：经过n+1次操作变为1的偶数个数与经过n次操作变为1的自然数个数是否相同？
题目二：
答：相同。
经n+1次操作变为1的所有偶数，1次操作后正好是经n次操作变为1的所有自然数。二者个数相等。
题目三(进阶思考)
对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1。如此进行直到为1时操作停止。问：经过11次操作变为1的数有多少个？
题目三：
答：89个。
从题目二知道，经n+1次操作变为1的偶数个数与经n次操作变为1的所有自然数个数相同。
现考虑经n+1次操作变的数即为经次操作变为1的奇数，1次操作后恰好变成n次操作后变为1的偶数，其个数与经n-1次操作变为1的自然数个数相同。