安徽省太湖中学（246400） 罗华根
记得《非诚勿扰》里开始有这样一个画外音：世界上无处不存在分歧、矛盾，当这些分歧、矛盾不能得到妥善处理的时候，世界就不太平了，人与人之间的口角、斗殴，国与国之间的离间、战争便开始了. 其实数列也是如此，数列里也有许许多多的矛盾需要去分类处理.本文就分类讨论思想在数列中的应用做了一些整理，供大家参考.
1、等比数列的公比引起分类讨论
例1设等比数列的公比为，前n项和.
（1）求的取值范围；
（2）设，记的前n项和为，试比较与的大小.
解析：（1）因为是等比数列，可得。
当
上式等价于不等式组： ①或②
解①式得；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得.
综上，的取值范围是。
（2）由得
于是又∵>0且－1<<0或>0，所以当或时, ,即；当且非诚勿扰11号≠0时，，即；当或=2时，，即.
点评：本题在比较与的大小时，用作差比较法，由于第一问的范围直接对差的符号有影响，所以依旧需要根据公比的大小进行分类讨论.
例2数列的前项和为，已知，求数列的通项公式．
解析：当时，．
当时，，并且，当时，．
点评：本题利用公式“”处理，但忽视了条件“”。一般地有
，此公式体现了与之间的关系，是数列问题的一条主线,要切实把握其中的分类讨论.公式中隐含着限制条件，所以当符合的表达式时可合并为一个式子；当不符合的表达式时，就要分段来表示.
3、等差数列的公差引起分类讨论
例3设等差数列中的每一项都不为0. 证明：对任何，都有.
解析：设数列的公差为.
若,则所以左边=右边, 等式成立.
若,则=
====.
综上, 对任何，都有.
点评：本题是利用裂项相消求和法. 在运用裂项公式时,未知量公差在分母中,此时需要,因此要分和两类讨论.
4、数列的奇偶项引起分类讨论
例4已知数列的前项和满足求数列的通项公式.
解析：先考虑偶数项有：
………
同理考虑奇数项有：
………
综上可得，
点评：本题在应用递推公式时要注意左边的脚码，如果对项数不分奇偶数讨论，叠加会很麻烦，甚至无法求和,所以分奇、偶数讨论是必须的.本例在求数列通项公式时，因为递推公式中的符号影响导致对项数的分类.
发布评论